初項 $a_1 = 1$、漸化式 $a_{n+1} = a_n + 4^n$ で定義される数列 $\{a_n\}$ の一般項 $a_n$ を求める問題です。

1. 問題の内容

初項 $a_1 = 1$、漸化式 $a_{n+1} = a_n + 4^n$ で定義される数列 $\{a_n\}$ の一般項 $a_n$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

漸化式 $a_{n+1} = a_n + 4^n$ から、数列 $\{a_n\}$ の階差数列が $4^n$ であることがわかります。したがって、$n \ge 2$ のとき、

$$a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} 4^k$$

初項 $a_1 = 1$ を代入すると

$$a_n = 1 + \sum_{k=1}^{n-1} 4^k$$

ここで、$\sum_{k=1}^{n-1} 4^k$ は初項4、公比4の等比数列の和であるため、

$$\sum_{k=1}^{n-1} 4^k = \frac{4(4^{n-1}-1)}{4-1} = \frac{4(4^{n-1}-1)}{3} = \frac{4^n - 4}{3}$$

したがって、

$$a_n = 1 + \frac{4^n - 4}{3} = \frac{3 + 4^n - 4}{3} = \frac{4^n - 1}{3}$$

$n=1$ のとき $a_1 = \frac{4^1 - 1}{3} = \frac{3}{3} = 1$ となり、これは与えられた初項の条件を満たします。

よって、すべての $n$ に対して $a_n = \frac{4^n - 1}{3}$ が成立します。

3. 最終的な答え

$a_n = \frac{4^n - 1}{3}$