(1) 頂点が (2, 1) で点 (1, -2) を通る2次関数を $y = ax^2 + bx + c$ の形で求める。 (2) 3点 (0, 0), (1, 1), (-2, 16) を通る2次関数を $y = ax^2 + bx$ の形で求める。 (3) 3点 (-2, 0), (3, 0), (4, -12) を通る2次関数を $y = a(x+2)(x-3)$ の形で求める。

1. 問題の内容

(1) 頂点が (2, 1) で点 (1, -2) を通る2次関数を $y = ax^2 + bx + c$ の形で求める。

(2) 3点 (0, 0), (1, 1), (-2, 16) を通る2次関数を $y = ax^2 + bx$ の形で求める。

(3) 3点 (-2, 0), (3, 0), (4, -12) を通る2次関数を $y = a(x+2)(x-3)$ の形で求める。

2. 解き方の手順

(1) 頂点が (2, 1) なので、2次関数は $y = a(x-2)^2 + 1$ と表せる。

点 (1, -2) を通るので、 $x = 1, y = -2$ を代入すると

$-2 = a(1-2)^2 + 1$

$-2 = a + 1$

$a = -3$

よって、 $y = -3(x-2)^2 + 1 = -3(x^2 - 4x + 4) + 1 = -3x^2 + 12x - 12 + 1 = -3x^2 + 12x - 11$

(2) 3点 (0, 0), (1, 1), (-2, 16) を通る2次関数を $y = ax^2 + bx$ とおく。

(0, 0) を通るので条件を満たしている。

(1, 1) を通るので、$1 = a(1)^2 + b(1)$ より $a + b = 1$

(-2, 16) を通るので、$16 = a(-2)^2 + b(-2)$ より $4a - 2b = 16$, つまり $2a - b = 8$

$a + b = 1$ と $2a - b = 8$ を連立して解くと、

$3a = 9$, よって $a = 3$

$3 + b = 1$, よって $b = -2$

したがって、$y = 3x^2 - 2x$

(3) 3点 (-2, 0), (3, 0), (4, -12) を通る2次関数を $y = a(x+2)(x-3)$ とおく。

(-2, 0), (3, 0) を通るので条件を満たしている。

(4, -12) を通るので、 $-12 = a(4+2)(4-3)$ より $-12 = a(6)(1)$

$-12 = 6a$, よって $a = -2$

したがって、$y = -2(x+2)(x-3) = -2(x^2 - x - 6) = -2x^2 + 2x + 12$

3. 最終的な答え

(1) $y = -3x^2 + 12x - 11$

(2) $y = 3x^2 - 2x$

(3) $y = -2x^2 + 2x + 12$