次の4つの式をそれぞれ因数分解します。 (1) $xy - yz + zu - ux$ (2) $16 - 8b + 2ab - a^2$ (3) $x^2y + x^2 - y - 1$ (4) $x^2 - 2y^2 + xy + yz - zx$

1. 問題の内容

次の4つの式をそれぞれ因数分解します。

(1) $xy - yz + zu - ux$

(2) $16 - 8b + 2ab - a^2$

(3) $x^2y + x^2 - y - 1$

(4) $x^2 - 2y^2 + xy + yz - zx$

2. 解き方の手順

(1) $xy - yz + zu - ux$ の因数分解

共通因数でくくって整理します。

$y(x-z) - u(x-z)$

$(x-z)(y-u)$

(2) $16 - 8b + 2ab - a^2$ の因数分解

$16 - (a^2 - 2ab + 8b)$と変形し、完全平方の形を考えます。

$16 - (a^2 - 2ab + b^2) - 8b + b^2$

$16 - (a-b)^2 - 8b + b^2$

$= 16 - (a^2 - 2ab + b^2) - 8b + b^2$

$= 16 - a^2 + 2ab - b^2 - 8b + b^2$

$= 16 - a^2 + 2ab - 8b$

$= 16 - 8b + 2ab - a^2$

$= - a^2 + 2ab - 8b + 16$

$=- (a^2 - 2ab + 8b - 16)$

$16 - 8b + 2ab - a^2 = 16 - (a^2 - 2ab + 8b)$

$= 16 - (a^2 - 2ab) + 8(a - 2)$

$= 16 - (a^2 - 2ab + b^2) + b^2 - 8b$

$= 16 - (a-b)^2 + b^2 - 8b$

$= -a^2 + 2ab + 16 - 8b$

$= 16 - a^2 - 8b + 2ab$

$=- (a^2 - 2ab + 8b - 16)$

$=- (a^2 - 2ab + b^2 - b^2 + 8b - 16)$

$=- [(a-b)^2 - (b^2 - 8b + 16)]$

$=- [(a-b)^2 - (b-4)^2]$

$=- [(a-b) + (b-4)][(a-b)-(b-4)]$

$=- [a-4][a-2b+4]$

$=(4-a)(a-2b+4)$

$(4-a)(a-2b+4)$

(3) $x^2y + x^2 - y - 1$ の因数分解

共通因数でくくって整理します。

$x^2(y+1) - (y+1)$

$(y+1)(x^2-1)$

$(y+1)(x+1)(x-1)$

(4) $x^2 - 2y^2 + xy + yz - zx$ の因数分解

$x$について整理します。

$x^2 + (y-z)x - (2y^2 - yz)$

$x^2 + (y-z)x - y(2y-z)$

$(x - y)(x + 2y - z)$

3. 最終的な答え

(1) $(x-z)(y-u)$

(2) $(4-a)(a-2b+4)$

(3) $(y+1)(x+1)(x-1)$

(4) $(x-y)(x+2y-z)$