$t=x^2$とするとき、$81x^4-18x^2+1$を因数分解せよ。

1. 問題の内容

$t=x^2$とするとき、$81x^4-18x^2+1$を因数分解せよ。

2. 解き方の手順

まず、$t = x^2$とおくと、$x^4 = (x^2)^2 = t^2$となるので、与えられた式は以下のように書き換えられます。

$81x^4 - 18x^2 + 1 = 81t^2 - 18t + 1$

これは、$9t$と$1$の二乗の形になっていることに気づきます。

すなわち、$(9t-1)^2$と因数分解できます。

$81t^2 - 18t + 1 = (9t)^2 - 2(9t)(1) + (1)^2 = (9t-1)^2$

ここで、$t = x^2$を代入します。

$(9t-1)^2 = (9x^2-1)^2$

さらに、$9x^2-1$は$(3x)^2 - (1)^2$という形なので、和と差の積を利用して因数分解できます。

$9x^2 - 1 = (3x-1)(3x+1)$

したがって、

$(9x^2-1)^2 = ((3x-1)(3x+1))^2 = (3x-1)^2(3x+1)^2$

3. 最終的な答え

$(3x-1)^2(3x+1)^2$