放物線 $y=f(x)$ は放物線 $y=x^2$ を平行移動したもので、頂点は直線 $y=2x+1$ 上にある。 (1) 放物線 $y=f(x)$ の頂点の $x$ 座標を $p$ とおくと、頂点が直線 $y=2x+1$ 上にあるから、$f(x)$ を $p$ を用いて表す。 (2) 放物線 $y=f(x)$ が $x$ 軸と異なる 2 点で交わり、その 2 点間の距離が 6 のとき、$f(x)$ を求める。 (3) (1)の $p$ において、$-1 \leq x \leq 1$ における 2 次関数 $f(x)$ の最小値が 1 のとき、$p$ の値を求める。

1. 問題の内容

放物線 $y=f(x)$ は放物線 $y=x^2$ を平行移動したもので、頂点は直線 $y=2x+1$ 上にある。

(1) 放物線 $y=f(x)$ の頂点の $x$ 座標を $p$ とおくと、頂点が直線 $y=2x+1$ 上にあるから、$f(x)$ を $p$ を用いて表す。

(2) 放物線 $y=f(x)$ が $x$ 軸と異なる 2 点で交わり、その 2 点間の距離が 6 のとき、$f(x)$ を求める。

(3) (1)の $p$ において、$-1 \leq x \leq 1$ における 2 次関数 $f(x)$ の最小値が 1 のとき、$p$ の値を求める。

2. 解き方の手順

(1)

頂点の $x$ 座標が $p$ であるとき、$y=2x+1$ 上にあるので、頂点の $y$ 座標は $2p+1$ となる。

したがって、$f(x)$ は、

$f(x) = (x-p)^2 + 2p + 1$ と表される。

(2)

$f(x) = (x-p)^2 + 2p + 1$ が $x$ 軸と異なる 2 点で交わるためには、判別式 $D > 0$ である必要がある。

$f(x) = 0$ となる $x$ を求めると、

$(x-p)^2 = -2p - 1$

$x = p \pm \sqrt{-2p-1}$

$x$ 軸との交点の距離が 6 であるから、

$2\sqrt{-2p-1} = 6$

$\sqrt{-2p-1} = 3$

$-2p-1 = 9$

$-2p = 10$

$p = -5$

よって、

$f(x) = (x+5)^2 + 2(-5) + 1 = (x+5)^2 - 9 = x^2 + 10x + 25 - 9 = x^2 + 10x + 16$

(3)

$f(x) = (x-p)^2 + 2p+1$ であり、$-1 \leq x \leq 1$ における最小値が 1 である。

$f(x) = (x-p)^2 + 2p+1 = 1$ より、

$(x-p)^2 = -2p$

$-1 \leq x \leq 1$ であるから、軸 $x=p$ の位置によって場合分けする。

(i) $p < -1$ のとき、最小値は $f(-1) = (-1-p)^2 + 2p+1 = (p+1)^2 + 2p+1 = p^2 + 2p + 1 + 2p + 1 = p^2 + 4p + 2 = 1$

$p^2 + 4p + 1 = 0$

$p = \frac{-4 \pm \sqrt{16-4}}{2} = -2 \pm \sqrt{3}$

$p < -1$ より、$p = -2 - \sqrt{3}$

(ii) $-1 \leq p \leq 1$ のとき、最小値は $f(p) = 2p+1 = 1$

$2p = 0$

$p=0$

(iii) $p > 1$ のとき、最小値は $f(1) = (1-p)^2 + 2p + 1 = (p-1)^2 + 2p + 1 = p^2 - 2p + 1 + 2p + 1 = p^2 + 2 = 1$

$p^2 = -1$ となり、実数解を持たない。

よって、$p=-2-\sqrt{3}$ または $p=0$

3. 最終的な答え

(1) $f(x) = (x-p)^2 + 2p + 1$

(2) $f(x) = x^2 + 10x + 16$

(3) $p = -2 - \sqrt{3}$ または $p = 0$