(1) 関数 $f(x) = -x^2 - 3x + 2$ について、$f(-2)$ を求めます。 (2) 放物線 $y = -2x^2$ を平行移動して、2点 $(-1, 2)$, $(1, 8)$ を通るような2次関数を求めます。 (3) $-3 \le x \le 0$ における2次関数 $y = x^2 + 2x + \alpha$ の最大値が9であるとき、定数 $\alpha$ の値と、最小値を求めます。

はい、承知いたしました。画像の問題を解いていきます。

1. 問題の内容

(1) 関数 $f(x) = -x^2 - 3x + 2$ について、$f(-2)$ を求めます。

(2) 放物線 $y = -2x^2$ を平行移動して、2点 $(-1, 2)$, $(1, 8)$ を通るような2次関数を求めます。

(3) $-3 \le x \le 0$ における2次関数 $y = x^2 + 2x + \alpha$ の最大値が9であるとき、定数 $\alpha$ の値と、最小値を求めます。

2. 解き方の手順

(1) $f(x) = -x^2 - 3x + 2$ に $x = -2$ を代入します。

$f(-2) = -(-2)^2 - 3(-2) + 2 = -4 + 6 + 2 = 4$

(2) 平行移動後の放物線を $y = -2(x - p)^2 + q$ とおきます。

この放物線が $(-1, 2)$ と $(1, 8)$ を通るので、以下の連立方程式が成り立ちます。

$2 = -2(-1 - p)^2 + q$

$8 = -2(1 - p)^2 + q$

$2 = -2(1 + 2p + p^2) + q$

$8 = -2(1 - 2p + p^2) + q$

$2 = -2 - 4p - 2p^2 + q$

$8 = -2 + 4p - 2p^2 + q$

$4 + 4p + 2p^2 = q$

$10 - 4p + 2p^2 = q$

$4 + 4p + 2p^2 = 10 - 4p + 2p^2$

$8p = 6$

$p = \frac{3}{4}$

$q = 4 + 4(\frac{3}{4}) + 2(\frac{3}{4})^2 = 4 + 3 + 2(\frac{9}{16}) = 7 + \frac{9}{8} = \frac{56 + 9}{8} = \frac{65}{8}$

したがって、$y = -2(x - \frac{3}{4})^2 + \frac{65}{8} = -2(x^2 - \frac{3}{2}x + \frac{9}{16}) + \frac{65}{8} = -2x^2 + 3x - \frac{9}{8} + \frac{65}{8} = -2x^2 + 3x + \frac{56}{8} = -2x^2 + 3x + 7$

(3) $y = x^2 + 2x + \alpha = (x + 1)^2 - 1 + \alpha$

$-3 \le x \le 0$ において、軸 $x = -1$ が範囲に含まれます。

$x = -3$ のとき $y = (-3)^2 + 2(-3) + \alpha = 9 - 6 + \alpha = 3 + \alpha$

$x = 0$ のとき $y = 0^2 + 2(0) + \alpha = \alpha$

$x = -1$ のとき $y = (-1)^2 + 2(-1) + \alpha = 1 - 2 + \alpha = -1 + \alpha$

頂点の $x = -1$ は定義域に含まれるので、最大値は $x = -3$ のとき、$3 + \alpha = 9$ より、$\alpha = 6$

このとき、$y = x^2 + 2x + 6 = (x + 1)^2 + 5$

最小値は $x = -1$ のとき、$y = 5$

3. 最終的な答え

(1) $f(-2) = 4$

(2) $y = -2x^2 + 3x + 7$

(3) $\alpha = 6$、最小値は $5$