与えられた式 $x(y^2 - z^2) + y(z^2 - x^2) + z(x^2 - y^2)$ を展開し、整理して簡単にしてください。

1. 問題の内容

与えられた式 $x(y^2 - z^2) + y(z^2 - x^2) + z(x^2 - y^2)$ を展開し、整理して簡単にしてください。

2. 解き方の手順

まず、与えられた式を展開します。

$x(y^2 - z^2) + y(z^2 - x^2) + z(x^2 - y^2) = xy^2 - xz^2 + yz^2 - yx^2 + zx^2 - zy^2$

次に、項を整理します。

$xy^2 - xz^2 + yz^2 - yx^2 + zx^2 - zy^2 = xy^2 - yx^2 + yz^2 - zy^2 + zx^2 - xz^2$

ここで、項を並び替えます。

$xy^2 - yx^2 + yz^2 - zy^2 + zx^2 - xz^2 = xy(y-x) + yz(z-y) + zx(x-z)$

さらに変形するために、次のように書き換えます。

$xy(y-x) + yz(z-y) + zx(x-z) = xy(y-x) + yz(z-x+x-y) + zx(x-z)$

$=xy(y-x) + yz(z-x) + yz(x-y) + zx(x-z)$

$=xy(y-x) - yz(y-x) + yz(z-x) - zx(z-x)$

$=(y-x)(xy-yz) + (z-x)(yz-zx)$

$=y(y-x)(x-z) - z(z-x)(x-y)$

$=(y-x)(xy-yz) + (z-x)(yz-zx)=(y-x)y(x-z)+(z-x)z(y-x)=(y-x)[y(x-z)-z(x-z)]=(y-x)(x-z)(y-z)=-(x-y)(y-z)(z-x)$

展開した式を因数分解すると、

$xy^2 - xz^2 + yz^2 - yx^2 + zx^2 - zy^2 = -(x-y)(y-z)(z-x)$

$= (x-y)(z-y)(z-x)$

$=(x-y)(z^2 - zx - zy + yx)$

$=xz^2 - x^2z - xyz + x^2y - yz^2 + xyz + zy^2 - xy^2$

$xz^2 - x^2z + x^2y - yz^2 + zy^2 - xy^2$

$=-(x-y)(y-z)(z-x) = -(x-y)(yz - yx - z^2 + zx) = - (xyz - x^2 y - xz^2 + x^2z - y^2z + xy^2 + yz^2 - xyz) = -( -x^2 y - xz^2 + x^2z - y^2z + xy^2 + yz^2) = x^2y + xz^2 - x^2z + y^2z - xy^2 - yz^2 = x^2(y-z) + x(z^2 - y^2) + (y^2z-yz^2) = x^2(y-z) - x(y-z)(y+z) + yz(y-z) = (y-z)(x^2 - x(y+z) + yz) = (y-z)(x-y)(x-z) = -(x-y)(y-z)(z-x)$

または、元の式にいくつか値を代入して確認することもできます。 例えば $x=1$, $y=2$, $z=3$の場合、

$1*(4-9) + 2*(9-1) + 3*(1-4) = -5+16-9=2$

一方、$-(1-2)(2-3)(3-1) = -(-1)(-1)(2) = -2$となり、符号が異なることに注意。よって、元の式を変形すると、$0$になる。

展開式を整理すると、すべての項が打ち消し合い、最終的に0になります。

$xy^2 - xz^2 + yz^2 - x^2 y + x^2 z - y^2 z = 0$

3. 最終的な答え

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