与えられた4つの式を展開する問題です。 (1) $(a^2+1)(a+1)(a-1)$ (2) $(x^2+9y^2)(x+3y)(x-3y)$ (3) $(x+3)^2(x-3)^2$ (4) $(a+2b)^2(a-2b)^2$

1. 問題の内容

与えられた4つの式を展開する問題です。

(1) $(a^2+1)(a+1)(a-1)$

(2) $(x^2+9y^2)(x+3y)(x-3y)$

(3) $(x+3)^2(x-3)^2$

(4) $(a+2b)^2(a-2b)^2$

2. 解き方の手順

(1) $(a^2+1)(a+1)(a-1)$ を展開します。まず、$(a+1)(a-1)$ を展開すると、差の平方の公式より $a^2 - 1$ となります。

次に、$(a^2+1)(a^2-1)$ を展開すると、差の平方の公式より $a^4 - 1$ となります。

(2) $(x^2+9y^2)(x+3y)(x-3y)$ を展開します。まず、$(x+3y)(x-3y)$ を展開すると、差の平方の公式より $x^2 - 9y^2$ となります。

次に、$(x^2+9y^2)(x^2-9y^2)$ を展開すると、差の平方の公式より $x^4 - 81y^4$ となります。

(3) $(x+3)^2(x-3)^2$ を展開します。まず、$(x+3)(x-3)$ を展開すると、差の平方の公式より $x^2 - 9$ となります。したがって、与式は $(x^2 - 9)^2$ となります。

次に、$(x^2-9)^2$ を展開すると、 $(x^2)^2 - 2(x^2)(9) + 9^2 = x^4 - 18x^2 + 81$ となります。

(4) $(a+2b)^2(a-2b)^2$ を展開します。まず、$(a+2b)(a-2b)$ を展開すると、差の平方の公式より $a^2 - 4b^2$ となります。したがって、与式は $(a^2 - 4b^2)^2$ となります。

次に、$(a^2 - 4b^2)^2$ を展開すると、 $(a^2)^2 - 2(a^2)(4b^2) + (4b^2)^2 = a^4 - 8a^2b^2 + 16b^4$ となります。

3. 最終的な答え

(1) $a^4 - 1$

(2) $x^4 - 81y^4$

(3) $x^4 - 18x^2 + 81$

(4) $a^4 - 8a^2b^2 + 16b^4$