(1) $x > 0$, $y > 0$ のとき、$(2x + 3y)(\frac{2}{x} + \frac{3}{y})$ の最小値を求める。 (2) $3x + y = 1$ のとき、$\frac{3}{x} + \frac{5}{y}$ の最小値を求める。

1. 問題の内容

(1) $x > 0$, $y > 0$ のとき、$(2x + 3y)(\frac{2}{x} + \frac{3}{y})$ の最小値を求める。

(2) $3x + y = 1$ のとき、$\frac{3}{x} + \frac{5}{y}$ の最小値を求める。

2. 解き方の手順

(1)

与えられた式を展開する。

$$(2x + 3y)(\frac{2}{x} + \frac{3}{y}) = 2x \cdot \frac{2}{x} + 2x \cdot \frac{3}{y} + 3y \cdot \frac{2}{x} + 3y \cdot \frac{3}{y} = 4 + \frac{6x}{y} + \frac{6y}{x} + 9 = 13 + 6(\frac{x}{y} + \frac{y}{x})$$

相加平均・相乗平均の関係より、

$$\frac{x}{y} + \frac{y}{x} \geq 2\sqrt{\frac{x}{y} \cdot \frac{y}{x}} = 2\sqrt{1} = 2$$

したがって、

$$13 + 6(\frac{x}{y} + \frac{y}{x}) \geq 13 + 6 \cdot 2 = 13 + 12 = 25$$

最小値は25。

(2)

$3x + y = 1$ より、$y = 1 - 3x$。 $y > 0$ なので、$1 - 3x > 0$。よって、$0 < x < \frac{1}{3}$。

$$\frac{3}{x} + \frac{5}{y} = \frac{3}{x} + \frac{5}{1 - 3x} = f(x)$$

$f'(x) = -\frac{3}{x^2} + \frac{5 \cdot 3}{(1-3x)^2} = -\frac{3}{x^2} + \frac{15}{(1-3x)^2} = 0$ を解く。

$\frac{3}{x^2} = \frac{15}{(1-3x)^2}$

$\frac{1}{x^2} = \frac{5}{(1-3x)^2}$

$(1-3x)^2 = 5x^2$

$1 - 6x + 9x^2 = 5x^2$

$4x^2 - 6x + 1 = 0$

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 16}}{8} = \frac{6 \pm \sqrt{20}}{8} = \frac{6 \pm 2\sqrt{5}}{8} = \frac{3 \pm \sqrt{5}}{4}$

$0 < x < \frac{1}{3}$ より、$x = \frac{3 - \sqrt{5}}{4}$

$y = 1 - 3x = 1 - 3(\frac{3 - \sqrt{5}}{4}) = \frac{4 - 9 + 3\sqrt{5}}{4} = \frac{3\sqrt{5} - 5}{4}$

$$\frac{3}{x} + \frac{5}{y} = \frac{3}{\frac{3 - \sqrt{5}}{4}} + \frac{5}{\frac{3\sqrt{5} - 5}{4}} = \frac{12}{3 - \sqrt{5}} + \frac{20}{3\sqrt{5} - 5}$$

$$= \frac{12(3 + \sqrt{5})}{9 - 5} + \frac{20(3\sqrt{5} + 5)}{45 - 25} = \frac{12(3 + \sqrt{5})}{4} + \frac{20(3\sqrt{5} + 5)}{20} = 3(3 + \sqrt{5}) + 3\sqrt{5} + 5 = 9 + 3\sqrt{5} + 3\sqrt{5} + 5 = 14 + 6\sqrt{5}$$

よって最小値は $14 + 6\sqrt{5}$

3. 最終的な答え

(1) 25

(2) $14 + 6\sqrt{5}$