方程式 $|x| + |x-1| = 3x$ を解きます。絶対値記号を含む方程式なので、場合分けをして考えます。

1. 問題の内容

方程式 $|x| + |x-1| = 3x$ を解きます。絶対値記号を含む方程式なので、場合分けをして考えます。

2. 解き方の手順

絶対値記号を外すために、場合分けを行います。$x$ の値によって $|x|$ と $|x-1|$ の符号が変わる点に注意します。

$x=0$ と $x=1$ が場合分けの基準となります。

(i) $x < 0$ のとき

$|x| = -x$ かつ $|x-1| = -(x-1) = -x+1$ となるので、方程式は

$-x -x + 1 = 3x$

$-2x + 1 = 3x$

$5x = 1$

$x = \frac{1}{5}$

しかし、これは $x < 0$ を満たさないので、この場合は解なしです。

(ii) $0 \le x < 1$ のとき

$|x| = x$ かつ $|x-1| = -(x-1) = -x+1$ となるので、方程式は

$x -x + 1 = 3x$

$1 = 3x$

$x = \frac{1}{3}$

これは $0 \le x < 1$ を満たすので、解の一つです。

(iii) $1 \le x$ のとき

$|x| = x$ かつ $|x-1| = x-1$ となるので、方程式は

$x + x - 1 = 3x$

$2x - 1 = 3x$

$-1 = x$

$x = -1$

しかし、これは $1 \le x$ を満たさないので、この場合は解なしです。

したがって、$x = \frac{1}{3}$ のみが解となります。

3. 最終的な答え

$x = \frac{1}{3}$