絶対値を含む方程式 $|2x| + |x-5| = 8$ を、$x$ の範囲を場合分けして解き、与えられた方程式の解を求める問題。

1. 問題の内容

絶対値を含む方程式 $|2x| + |x-5| = 8$ を、$x$ の範囲を場合分けして解き、与えられた方程式の解を求める問題。

2. 解き方の手順

まず、$|x-5|$ の絶対値を外す。問題文より、

$|x-5| = \begin{cases}

-(x-5) & (x < 5 \text{ のとき}) \\

x-5 & (x \ge 5 \text{ のとき})

\end{cases}$

したがって、$x<5$, $x \ge 5$ で場合分けすることになる。問題文ではさらに、$|2x|$ についても場合分けが必要なので、$x<0$, $0 \le x < 5$, $x \ge 5$ の3つの場合に分けて考える。

(i) $x < 0$ のとき：

$|2x| = -2x$, $|x-5| = -(x-5) = -x+5$ より、方程式は

$-2x - x + 5 = 8$

$-3x = 3$

$x = -1$

これは $x < 0$ を満たす。

(ii) $0 \le x < 5$ のとき：

$|2x| = 2x$, $|x-5| = -(x-5) = -x+5$ より、方程式は

$2x - x + 5 = 8$

$x = 3$

これは $0 \le x < 5$ を満たす。

(iii) $x \ge 5$ のとき：

$|2x| = 2x$, $|x-5| = x-5$ より、方程式は

$2x + x - 5 = 8$

$3x = 13$

$x = \frac{13}{3}$

$\frac{13}{3} = 4.333...$ であり、$x \ge 5$ を満たさないので、この場合は解なし。

以上より、アは0、イは5。ウは-1、エは満たす。オは3、カは満たす。キは13/3、クは満たさない。

3. 最終的な答え

ア: 0

イ: 5

ウ: -1

エ: 満たす

オ: 3

カ: 満たす

キ: 13/3

ク: 満たさない

ケ: -1, 3