$(m+n)^5$ の展開式における $mn^4$ の項の係数を求める問題です。

1. 問題の内容

$(m+n)^5$ の展開式における $mn^4$ の項の係数を求める問題です。

2. 解き方の手順

二項定理を用いて $(m+n)^5$ を展開します。二項定理は以下の通りです。

$(m+n)^5 = \sum_{k=0}^{5} \binom{5}{k} m^{5-k} n^k$

$mn^4$ の項は、$k=4$ のときに現れます。つまり、

$\binom{5}{4} m^{5-4} n^4 = \binom{5}{4} m^1 n^4 = \binom{5}{4} mn^4$

二項係数 $\binom{5}{4}$ を計算します。

$\binom{5}{4} = \frac{5!}{4!(5-4)!} = \frac{5!}{4!1!} = \frac{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{(4 \times 3 \times 2 \times 1)(1)} = \frac{5}{1} = 5$

したがって、$mn^4$ の項は $5mn^4$ となります。

3. 最終的な答え

$5$