三角形ABCにおいて、$AB=AC$、∠Bの二等分線と辺ACの交点をDとし、$BD=BC$となる。BDを延長し、$BA=BE$となる点をEとする。 (1) ∠BACの大きさを求めよ。(既に解答済み: $36^\circ$) (2) AE, ECを結んだとき、∠AECの大きさを求めよ。(既に解答済み: $108^\circ$) (3) $AB=4$のとき、$BC$の長さを求めよ。また、四角形ABCEの周の長さを求めよ。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、$AB=AC$、∠Bの二等分線と辺ACの交点をDとし、$BD=BC$となる。BDを延長し、$BA=BE$となる点をEとする。

(1) ∠BACの大きさを求めよ。(既に解答済み: $36^\circ$)

(2) AE, ECを結んだとき、∠AECの大きさを求めよ。(既に解答済み: $108^\circ$)

(3) $AB=4$のとき、$BC$の長さを求めよ。また、四角形ABCEの周の長さを求めよ。

2. 解き方の手順

(3)

まず、$BC$の長さを求める。

三角形ABCは二等辺三角形なので、$∠ABC=∠ACB$。

$∠BAC = 36^\circ$なので、$∠ABC = ∠ACB = (180^\circ - 36^\circ)/2 = 72^\circ$。

$BD$は$∠ABC$の二等分線なので、$∠ABD = ∠DBC = 72^\circ / 2 = 36^\circ$。

三角形BCDにおいて、$BD=BC$なので、$∠BDC = ∠BCD = ∠ACB = 72^\circ$。

三角形ABDにおいて、$∠BAD = 36^\circ$、$∠ABD = 36^\circ$なので、$∠ADB = 180^\circ - 36^\circ - 36^\circ = 108^\circ$。

$∠BDC=72^\circ$より、$∠ADB + ∠BDC = 108^\circ + 72^\circ = 180^\circ$が成り立つ。

三角形ABEにおいて、$BA=BE$なので、$∠BAE=∠BEA$である。

$∠ABE = 180^\circ - ∠ABC = 180^\circ - 72^\circ = 108^\circ$

$∠BAE=∠BEA=(180^\circ - 108^\circ) / 2 = 36^\circ$

三角形AEBと三角形BACは相似である。（2角相等）

したがって、$\frac{AB}{BA}=\frac{BC}{AE}=\frac{AC}{BE}$が成立する。

今、$AB=4$であるから、$AE=4$である。

$\frac{BC}{AB}=\frac{AB}{AC}$なので、$\frac{BC}{4}=\frac{4}{4}$となり、$BC = \frac{AB \times AC}{AB} = BD=BC=\frac{AB*BC}{AC}= \frac{4 * BC}{4}$

$BC = BD$で三角形$BCD$において$∠BCD=∠BDC=72^\circ$であることから、三角形ABDと三角形BCDは相似である。

したがって、$BC:CD=AB:BD$、つまり、$BC:CD=4:BC$が成り立つ。

$AD=AC-CD$なので、$AD=4-CD$であり、三角形ABDは二等辺三角形($AB=BD=BC$)なので、$AD=BC$である。

したがって、$AD=AC-CD$に代入すると、$BC=4-CD$となる。

$CD=4-BC$となり、$BC:(4-BC)=4:BC$なので、$BC^2=4(4-BC)=16-4BC$

$BC^2 + 4BC - 16 = 0$

$BC = \frac{-4 \pm \sqrt{16 - 4(-16)}}{2} = \frac{-4 \pm \sqrt{16+64}}{2} = \frac{-4 \pm \sqrt{80}}{2} = \frac{-4 \pm 4\sqrt{5}}{2} = -2 \pm 2\sqrt{5}$

$BC>0$なので、$BC = -2 + 2\sqrt{5} = 2(\sqrt{5} - 1)$

四角形ABCEの周の長さは、$AB + BC + CE + EA = 4 + 2(\sqrt{5}-1) + CE + 4 = 8 + 2\sqrt{5} - 2 + CE = 6 + 2\sqrt{5} + CE$

三角形AECは二等辺三角形($AE=AC$)より、$∠ACE = ∠AEC = 108^\circ$

よって、$∠EAC=180^\circ - 108^\circ * 2 = -36 <0$　　ありえない。

$\angle AEC = 108^\circ$

$\angle ACE + \angle CAE = 180-108 = 72^\circ$

$\angle ACE + 36 = 72$から　$\angle ACE =36$

つまり三角形　AECは二等辺三角形

$CE=AE=4$

従って、四角形ABCEの周の長さは$4 + 2(\sqrt{5}-1) + 4 + 4 = 12 + 2\sqrt{5} - 2 = 10 + 2\sqrt{5} = 2(5+\sqrt{5})$

3. 最終的な答え

$BC = 2(\sqrt{5} - 1)$

四角形ABCEの周の長さ = $10 + 2\sqrt{5}$