直角三角形OABがあり、OA=2、∠OBA=π/2である。辺ABをA方向に延長した線上にA'B=√3ABとなる点A'を取り、辺ABをB方向に延長した線上にB'B=OBとなる点B'を取る。∠AOB=θとする。この時、三角形OA'B'の面積f(θ)が与えられた不等式を満たすθの範囲を求める問題である。

1. 問題の内容

直角三角形OABがあり、OA=2、∠OBA=π/2である。辺ABをA方向に延長した線上にA'B=√3ABとなる点A'を取り、辺ABをB方向に延長した線上にB'B=OBとなる点B'を取る。∠AOB=θとする。この時、三角形OA'B'の面積f(θ)が与えられた不等式を満たすθの範囲を求める問題である。

2. 解き方の手順

(1) △OABは直角三角形なので、三平方の定理より、

$AB^2 + OB^2 = OA^2 = 2^2 = 4$

また、tanθ = OB/ABより、OB = ABtanθ。これを代入すると、

$AB^2 + (ABtanθ)^2 = 4$

$AB^2 (1 + tan^2θ) = 4$

$AB^2 = \frac{4}{1+tan^2θ} = 4cos^2θ$

AB > 0より

$AB = 2cosθ$

OB = ABtanθ = $2cosθ\frac{sinθ}{cosθ} = 2sinθ$

(2) △OA'B'の面積は△OABと△OB'Bの面積の和で表される。

△OAB = $\frac{1}{2}AB \cdot OB = \frac{1}{2}(2cosθ)(2sinθ) = 2sinθcosθ = sin2θ$

B'B = OB = 2sinθ

OB' = OB + B'B = 2sinθ + 2sinθ = 4sinθ

△OB'B = $\frac{1}{2} OB' \cdot OB sin(\frac{π}{2}) = \frac{1}{2} (4sinθ)(2sinθ) = 4sin^2θ$

A'B = √3AB = $2\sqrt{3}cosθ$

したがって、$f(θ) = \frac{1}{2}OA'\cdot OB' sin(\frac{π}{2}) = \frac{1}{2}OA'\cdot OB' = sin2θ + 4sin^2θ$

$f(θ)= sin2θ + 4sin^2θ$とわかる。

ここで、$cos2θ = 1 - 2sin^2θ$より、$2sin^2θ = 1 - cos2θ$なので、

$f(θ) = sin2θ + 2(1 - cos2θ) = sin2θ - 2cos2θ + 2$

$f(θ) = \sqrt{5}sin(2θ+α)+2$, where $cosα= \frac{1}{\sqrt{5}}$, $sinα= \frac{-2}{\sqrt{5}}$

(3) 不等式 $f(θ) < \sqrt{3} + 1$は、$sin2θ - 2cos2θ + 2 < \sqrt{3}+1$

$sin2θ - 2cos2θ < \sqrt{3} - 1$

ここで、$f(θ) = sin2θ - 2cos2θ+2 < \sqrt{3}+1$を解くためには、まず $sin2θ - 2cos2θ < \sqrt{3}-1$を解けば良い。

太郎さんと花子さんの会話より、 θが直角三角形の内角なので、$0 < θ < \frac{π}{2}$

よって、$0 < 2θ < π$

方程式 $sin x = \frac{\sqrt{2}}{2}$ を解くと、x = $\frac{π}{4}$

(4) サに当てはまるものは、 $0 < θ < \frac{π}{2}$ なので、③ $0 < θ < \frac{π}{2}$

3. 最終的な答え

ア: $2cosθ$

イ: $2sinθ$

ウ: $sin2θ$

エ: $4sin^2θ$

オ: ⑤ $cos2θ=1-2sin^2θ$

カ: ② $cos2θ=2cos^2θ-1$

ク: 2

ケ: ④ $π/3$

コ: ② $\frac{\sqrt{2}}{2}$

サ: ③ $0 < θ < \frac{π}{2}$

シ: ⑥ $\frac{π}{12}$

ス: ⑧ $\frac{5π}{12}$

セ: ② $\frac{π}{2}$