円に内接する四角形ABCDにおいて、辺AB, DCの延長の交点をP、辺BC, ADの延長の交点をQとする。$\angle P = 28^\circ$, $\angle Q = 54^\circ$, $AP = 16$, $PC = 7$, $AD = 8$であるとき、$x$と$y$の値を求めよ。

## 解答

1. 問題の内容

円に内接する四角形ABCDにおいて、辺AB, DCの延長の交点をP、辺BC, ADの延長の交点をQとする。$\angle P = 28^\circ$, $\angle Q = 54^\circ$, $AP = 16$, $PC = 7$, $AD = 8$であるとき、$x$と$y$の値を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 方べきの定理を利用する。

点Pについて、

$PA \cdot PB = PC \cdot PD$

$16 \cdot (16-y) = 7 \cdot (7+x)$

点Qについて、

$QA \cdot QD = QC \cdot QB$

$(8+x) \cdot 8 = y \cdot (y+7)$

よって、

$16(16-y) = 7(7+x)$

$(8+x)8 = y(y+7)$

整理すると、

$256 - 16y = 49 + 7x$

$64 + 8x = y^2 + 7y$

さらに整理すると、

$7x + 16y = 207$　　　(1)

$y^2 + 7y - 8x = 64$　　　(2)

(2) (1)より、$7x = 207 - 16y$　だから、$x = (207 - 16y)/7$。これを(2)に代入する。

$y^2 + 7y - 8((207 - 16y)/7) = 64$

$7y^2 + 49y - 8(207 - 16y) = 448$

$7y^2 + 49y - 1656 + 128y = 448$

$7y^2 + 177y - 2104 = 0$

$(7y + 263)(y - 8) = 0$

$y > 0$より、$y = 8$

(3) $y=8$を(1)に代入すると、

$7x + 16(8) = 207$

$7x + 128 = 207$

$7x = 79$

$x = \frac{79}{7}$

3. 最終的な答え

$x = \frac{79}{7}$

$y = 8$