一辺の長さが1の正四面体ABCDと2点P, Qがあり、$\overrightarrow{AP}=2\overrightarrow{AC}$, $\overrightarrow{BQ}=2\overrightarrow{BD}$を満たす。 (1) $\overrightarrow{AB}=\vec{b}$, $\overrightarrow{AC}=\vec{c}$, $\overrightarrow{AD}=\vec{d}$として、$\overrightarrow{PQ}$を$\vec{b}$, $\vec{c}$, $\vec{d}$を用いて表せ。 (2) 点Rが辺CD上を動くとき、三角形PQRの面積の最小値を求めよ。

1. 問題の内容

一辺の長さが1の正四面体ABCDと2点P, Qがあり、$\overrightarrow{AP}=2\overrightarrow{AC}$, $\overrightarrow{BQ}=2\overrightarrow{BD}$を満たす。

(1) $\overrightarrow{AB}=\vec{b}$, $\overrightarrow{AC}=\vec{c}$, $\overrightarrow{AD}=\vec{d}$として、$\overrightarrow{PQ}$を$\vec{b}$, $\vec{c}$, $\vec{d}$を用いて表せ。

(2) 点Rが辺CD上を動くとき、三角形PQRの面積の最小値を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) $\overrightarrow{PQ}$を$\vec{b}$, $\vec{c}$, $\vec{d}$を用いて表す。

$\overrightarrow{PQ} = \overrightarrow{PA} + \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BQ} = -\overrightarrow{AP} + \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BQ}$

ここで$\overrightarrow{AP} = 2\overrightarrow{AC} = 2\vec{c}$, $\overrightarrow{BQ} = 2\overrightarrow{BD} = 2(\overrightarrow{AD} - \overrightarrow{AB}) = 2(\vec{d} - \vec{b})$より、

$\overrightarrow{PQ} = -2\vec{c} + \vec{b} + 2(\vec{d} - \vec{b}) = -2\vec{c} + \vec{b} + 2\vec{d} - 2\vec{b} = -\vec{b} - 2\vec{c} + 2\vec{d}$.

(2) 点Rが辺CD上にあるので、$0 \leq t \leq 1$として$\overrightarrow{CR}=t\overrightarrow{CD}$と表せる。

$\overrightarrow{AR} = \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{CR} = \overrightarrow{AC} + t\overrightarrow{CD} = \overrightarrow{AC} + t(\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AC}) = (1-t)\overrightarrow{AC} + t\overrightarrow{AD} = (1-t)\vec{c} + t\vec{d}$.

$\overrightarrow{PR} = \overrightarrow{PA} + \overrightarrow{AR} = -2\vec{c} + (1-t)\vec{c} + t\vec{d} = (-1-t)\vec{c} + t\vec{d}$.

$\overrightarrow{QR} = \overrightarrow{QA} + \overrightarrow{AR} = -\overrightarrow{AQ} + \overrightarrow{AR} = -(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BQ}) + \overrightarrow{AR} = -(\vec{b} + 2(\vec{d}-\vec{b})) + (1-t)\vec{c} + t\vec{d} = \vec{b} - 2\vec{d} + (1-t)\vec{c} + t\vec{d} = \vec{b} + (1-t)\vec{c} + (t-2)\vec{d}$.

三角形PQRの面積Sは

$S = \frac{1}{2} |\overrightarrow{PQ} \times \overrightarrow{PR}|$.

$\overrightarrow{PQ} \times \overrightarrow{PR} = (-\vec{b} - 2\vec{c} + 2\vec{d}) \times ((-1-t)\vec{c} + t\vec{d}) = (-\vec{b} - 2\vec{c} + 2\vec{d}) \times (-(1+t)\vec{c} + t\vec{d})$

$= (1+t)\vec{b} \times \vec{c} - t\vec{b} \times \vec{d} + 2t \vec{c} \times \vec{d} + 2(1+t) \vec{c} \times \vec{d} = (1+t)\vec{b} \times \vec{c} - t\vec{b} \times \vec{d} + (2t + 2 + 2t)\vec{c} \times \vec{d} = (1+t)\vec{b} \times \vec{c} - t\vec{b} \times \vec{d} + (4t+2)\vec{c} \times \vec{d}$.

ここで、正四面体の一辺の長さは1なので、

$|\vec{b}|=|\vec{c}|=|\vec{d}|=1$.

$\vec{b}\cdot\vec{c} = \vec{c}\cdot\vec{d} = \vec{d}\cdot\vec{b} = \frac{1}{2}$.

$|\vec{b} \times \vec{c}| = |\vec{c} \times \vec{d}| = |\vec{d} \times \vec{b}| = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

$\vec{b} \times \vec{c}, \vec{c} \times \vec{d}, \vec{d} \times \vec{b}$ は互いに直交する。

$S^2 = \frac{1}{4} [ (1+t)^2 |\vec{b} \times \vec{c}|^2 + t^2 |\vec{b} \times \vec{d}|^2 + (4t+2)^2 |\vec{c} \times \vec{d}|^2 ] = \frac{1}{4} \frac{3}{4} [ (1+t)^2 + t^2 + (4t+2)^2 ] = \frac{3}{16} [ 1 + 2t + t^2 + t^2 + 16t^2 + 16t + 4 ] = \frac{3}{16} [ 18t^2 + 18t + 5 ] = \frac{3}{16} [ 18(t^2 + t) + 5 ] = \frac{3}{16} [ 18(t + \frac{1}{2})^2 - \frac{18}{4} + 5 ] = \frac{3}{16} [ 18(t + \frac{1}{2})^2 - \frac{9}{2} + \frac{10}{2} ] = \frac{3}{16} [ 18(t + \frac{1}{2})^2 + \frac{1}{2} ]$.

したがって、$t = -\frac{1}{2}$の時に最小になるが、$0 \leq t \leq 1$より、$t=0$または$t=1$で最小となる。

$t=0$のとき、$S^2 = \frac{3}{16} (5) = \frac{15}{16}$. $S = \frac{\sqrt{15}}{4}$.

$t=1$のとき、$S^2 = \frac{3}{16} (18 + 18 + 5) = \frac{3}{16} (41) = \frac{123}{16}$. $S = \frac{\sqrt{123}}{4}$.

$t=0$のときが最小なので、$S=\frac{\sqrt{15}}{4}$.

3. 最終的な答え

(1) $\overrightarrow{PQ} = -\vec{b} - 2\vec{c} + 2\vec{d}$

(2) $\frac{\sqrt{15}}{4}$