一辺の長さが $a$ の正方形の土地に、幅 $b$ の道がついている。道の面積を $S$、道の中心を通る線の長さを $l$ とするとき、$S = bl$ が成り立つことを証明する。

1. 問題の内容

一辺の長さが $a$ の正方形の土地に、幅 $b$ の道がついている。道の面積を $S$、道の中心を通る線の長さを $l$ とするとき、$S = bl$ が成り立つことを証明する。

2. 解き方の手順

まず、道の面積 $S$ を求める。道は、縦に長さ $a$、横に長さ $b$ の長方形と、横に長さ $a+b$、縦に長さ $b$ の長方形に分割できる。

したがって、道の面積 $S$ は、

$S = a \cdot b + (a+b) \cdot b$

$S = ab + ab + b^2$

$S = 2ab + b^2$

次に、道の中心を通る線の長さ $l$ を求める。道の中央の線は、縦に長さ $a$ 、横に長さ $b/2$の線と、横に長さ $a+b/2$、縦に長さ $b/2$の線に分割できる。したがって、道の中心を通る線の長さ $l$ は、

$l = a + (a+b) = 2a+b$

ここで、$bl$を計算すると、

$bl = b(2a+b) = 2ab + b^2$

したがって、$S = 2ab + b^2 = bl$となるので、$S = bl$ が成り立つ。

3. 最終的な答え

$S = bl$ が成り立つ。