$\theta$ が鋭角で、$\cos \theta = \frac{2}{3}$ のとき、$\sin \theta$ と $\tan \theta$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

$\theta$ が鋭角で、$\cos \theta = \frac{2}{3}$ のとき、$\sin \theta$ と $\tan \theta$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、三角関数の基本公式 $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ を用いて $\sin \theta$ を求める。

$\cos \theta = \frac{2}{3}$ を代入すると、

$\sin^2 \theta + (\frac{2}{3})^2 = 1$

$\sin^2 \theta + \frac{4}{9} = 1$

$\sin^2 \theta = 1 - \frac{4}{9}$

$\sin^2 \theta = \frac{5}{9}$

$\theta$ は鋭角なので、$\sin \theta > 0$ である。

よって、

$\sin \theta = \sqrt{\frac{5}{9}} = \frac{\sqrt{5}}{3}$

次に、$\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}$ を用いて $\tan \theta$ を求める。

$\sin \theta = \frac{\sqrt{5}}{3}$ と $\cos \theta = \frac{2}{3}$ を代入すると、

$\tan \theta = \frac{\frac{\sqrt{5}}{3}}{\frac{2}{3}} = \frac{\sqrt{5}}{3} \times \frac{3}{2} = \frac{\sqrt{5}}{2}$

3. 最終的な答え

$\sin \theta = \frac{\sqrt{5}}{3}$

$\tan \theta = \frac{\sqrt{5}}{2}$