円Oに内接する四角形ACBAがあり、直線ATは点Aにおける円Oの接線である。$\angle ACB = 60^\circ$、$\angle ATB = 40^\circ$ のとき、$\angle ABC = x$ を求める。

1. 問題の内容

円Oに内接する四角形ACBAがあり、直線ATは点Aにおける円Oの接線である。$\angle ACB = 60^\circ$、$\angle ATB = 40^\circ$ のとき、$\angle ABC = x$ を求める。

2. 解き方の手順

* 円周角の定理より、$\angle AOB = 2\angle ACB = 2 \times 60^\circ = 120^\circ$ となります。

* $\angle CAB$の円周角に対する中心角が$\angle COB$となります。

* 接弦定理より、$\angle TAB = \angle ACB = 60^\circ$。

* 三角形ATBにおいて、$\angle ATB + \angle TAB + \angle ABT = 180^\circ$ なので、$40^\circ + 60^\circ + \angle ABT = 180^\circ$。よって、$\angle ABT = 180^\circ - 40^\circ - 60^\circ = 80^\circ$。

* $\angle ABT = \angle ABC + \angle CBT = x + \angle CBT = 80^\circ$。

* 四角形ACBAは円に内接しているので、$\angle CAB + \angle ABC = 180^\circ$が成り立ちます。また、$\angle CAB = 180^\circ - x$.

* $\angle CBT=\angle CAT=60^\circ$（接弦定理より）であるから、$x + 60^\circ = 80^\circ$

* したがって、$x = 80^\circ - 60^\circ$

3. 最終的な答え

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