円Oにおいて、直線ATは円の接線であり、点Aはその接点である。$\angle CAT = 75^\circ$、$\angle CBA = 65^\circ$のとき、$x$の値を求めよ。

1. 問題の内容

円Oにおいて、直線ATは円の接線であり、点Aはその接点である。$\angle CAT = 75^\circ$、$\angle CBA = 65^\circ$のとき、$x$の値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$\angle BAC$を求める。三角形ABCの内角の和は$180^\circ$であるから、

$\angle BAC = 180^\circ - \angle ABC - \angle ACB = 180^\circ - 65^\circ - 75^\circ = 40^\circ$

次に、接弦定理を用いる。接弦定理より、$\angle TAB = \angle BCA = 75^\circ$である。

また、$x$は$\angle BAT$を表している。

$\angle CAT = \angle BAT + \angle BAC$であるから、

$75^\circ = x + 40^\circ$

したがって、$x = 75^\circ - 40^\circ = 35^\circ$

3. 最終的な答え

35