円周上に点A, B, C, Dがあり、線分BCは円の中心Oを通る。角AOBは118度である。角ACDの大きさをxとするとき、xの値を求める。

1. 問題の内容

円周上に点A, B, C, Dがあり、線分BCは円の中心Oを通る。角AOBは118度である。角ACDの大きさをxとするとき、xの値を求める。

2. 解き方の手順

まず、角AOBは中心角であり、角ACBは円周角である。円周角の定理より、角ACBは角AOBの半分である。

したがって、

$ACB = \frac{1}{2}AOB = \frac{1}{2} \times 118 = 59$

$ACB = 59^\circ$

次に、BCは円の直径なので、円周角の定理より角BACは90度である。つまり、三角形ABCは直角三角形である。

四角形ABCDは円に内接しているので、対角の和は180度である。つまり、

$D + B = 180$

また、$x = \angle ACD$で、$ACD + CAB = 90^\circ$である。

$\angle ADC = 180^\circ - \angle ABC$

角ABCを求める。

$\angle ABC = 180^\circ - (90^\circ + 59^\circ) = 180^\circ - 149^\circ = 31^\circ$

円に内接する四角形の対角の和は180度なので、

$\angle ABC + \angle ADC = 180^\circ$

$\angle ADC = 180^\circ - \angle ABC = 180^\circ - 31^\circ = 149^\circ$

三角形ACDの内角の和は180度なので、

$\angle DAC + \angle ACD + \angle ADC = 180^\circ$

$\angle DAC = 180^\circ - \angle ACD - \angle ADC$

$\angle DAC = 180^\circ - x - 149^\circ = 31^\circ - x$

また、$\angle BAD + \angle BCD = 180$であり、$\angle BCD = x$となる。

さらに、$\angle BAD$について考えると、$\angle BAD = \angle BAC + \angle CAD = 90 + 31 -x = 121-x$

よって、$121-x +x=180$となり、誤りである。

図を見て分かる通り、$\angle BOC = 180^\circ$で、$\angle AOB = 118^\circ$であるから、$\angle AOC = 180^\circ - 118^\circ = 62^\circ$である。

すると、$\angle ADC = \frac{1}{2} \angle AOC = \frac{1}{2} \times 62 = 31^\circ$

円に内接する四角形の性質より、対角の和は180度なので、

$\angle B + \angle D = 180^\circ$

$\angle D = \angle ADC$

$\angle BCD = 180 - \angle BAD = 180 - x$

しかし、$\angle BCD = \angle BCA + \angle ACD = 59 + x$となる。

$\angle A + \angle C = 180^\circ$より、

$\angle A=90+ \angle CAD = 180 - (\angle ACB + \angle ACD)= 180 - 59 - x$

$\angle A = 121-x$

さらに、$\angle C = \angle ACB + \angle ACD = 59+x = 180 - \angle A = 180 - (121 - x)$

$59 + x = 59+x$

$\angle ACD = \frac{1}{2} \angle AOD$より、$x = \frac{1}{2} \times 62 = 31$

$\angle BCD$について、$x$は$\angle ACD$の大きさであり、

$\angle ACD= x = 31^\circ$

3. 最終的な答え

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