## 1. 問題の内容

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1. 問題の内容

画像に写っている数学の問題は以下の通りです。

6. 3点 A(2, 7), B(-4, -2), C(5, 4) を頂点とする三角形 ABC の重心 G の座標を求める。

7. 次の直線の方程式を求める。

(1) 点 A(3, 1) を通り、傾きが -2 の直線。

(2) 2点 A(2, 3), B(4, -1) を通る直線。

(3) 2点 A(-4, -2), B(-4, 3) を通る直線。

8. 2直線 $y = 2x - 1$ と $y = -x + 5$ の交点の座標を求める。

9. 次の直線の方程式を求める。

(1) 点 (3, 1) を通り、直線 $y = -2x + 5$ に平行な直線。

(2) 点 (3, 1) を通り、直線 $y = -2x + 5$ に垂直な直線。

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2. 解き方の手順

6. 重心の座標は、各頂点の座標の平均を取ることで求められます。つまり、重心Gの座標 $(x_G, y_G)$ は、

$x_G = \frac{x_A + x_B + x_C}{3}$

$y_G = \frac{y_A + y_B + y_C}{3}$

で計算できます。

7. (1) 傾き $m$、点 $(x_1, y_1)$ を通る直線の方程式は、$y - y_1 = m(x - x_1)$ で求められます。

(2) 2点 $(x_1, y_1)$, $(x_2, y_2)$ を通る直線の方程式は、$y - y_1 = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} (x - x_1)$ で求められます。

(3) (2)と同様に求めます。

8. 2直線の交点の座標は、2つの直線の方程式を連立させて解くことで求められます。

9. (1) 平行な直線の傾きは等しくなります。点 $(x_1, y_1)$ を通り、傾き $m$ の直線の方程式は $y - y_1 = m(x - x_1)$ で求められます。

(2) 垂直な直線の傾きの積は -1 になります。与えられた直線の傾きが $m$ のとき、それに垂直な直線の傾きは $-\frac{1}{m}$ となります。点 $(x_1, y_1)$ を通り、傾き $m'$ の直線の方程式は $y - y_1 = m'(x - x_1)$ で求められます。

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3. 最終的な答え

6. $x_G = \frac{2 + (-4) + 5}{3} = \frac{3}{3} = 1$

$y_G = \frac{7 + (-2) + 4}{3} = \frac{9}{3} = 3$

したがって、重心 G の座標は (1, 3) です。

7. (1) $y - 1 = -2(x - 3)$

$y = -2x + 6 + 1$

$y = -2x + 7$

(2) $y - 3 = \frac{-1 - 3}{4 - 2}(x - 2)$

$y - 3 = \frac{-4}{2}(x - 2)$

$y - 3 = -2(x - 2)$

$y = -2x + 4 + 3$

$y = -2x + 7$

(3) $y - (-2) = \frac{3 - (-2)}{-4 - (-4)}(x - (-4))$

分母が0になるので、これは傾きが存在しない直線(x軸に垂直な直線)を表します。

この場合、２点のx座標が同じであることから、直線は $x = -4$

8. $y = 2x - 1$

$y = -x + 5$

連立して解くと、

$2x - 1 = -x + 5$

$3x = 6$

$x = 2$

$y = 2(2) - 1 = 4 - 1 = 3$

したがって、交点の座標は (2, 3) です。

9. (1) 平行な直線の傾きは -2 なので、

$y - 1 = -2(x - 3)$

$y = -2x + 6 + 1$

$y = -2x + 7$

(2) 垂直な直線の傾きは $\frac{1}{2}$ なので、

$y - 1 = \frac{1}{2}(x - 3)$

$y = \frac{1}{2}x - \frac{3}{2} + 1$

$y = \frac{1}{2}x - \frac{1}{2}$