直線 $y=x+12$, $y=x+20$ と放物線 $y=x^2$ の交点をそれぞれA, B, C, Dとする。また、点Eは直線 $y=x+12$ とy軸との交点である。このとき、点Eを通り四角形ABCDの面積を2等分する直線の式を求めよ。

1. 問題の内容

直線 $y=x+12$, $y=x+20$ と放物線 $y=x^2$ の交点をそれぞれA, B, C, Dとする。また、点Eは直線 $y=x+12$ とy軸との交点である。このとき、点Eを通り四角形ABCDの面積を2等分する直線の式を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、各点の座標を求める。

点Aは $y=x+12$ と $y=x^2$ の交点なので、$x^2 = x + 12$ を解く。

$x^2 - x - 12 = 0$

$(x-4)(x+3) = 0$

$x = 4, -3$

よって、A $(-3, 9)$、B $(4, 16)$となる。

点Cは $y=x+20$ と $y=x^2$ の交点なので、$x^2 = x + 20$ を解く。

$x^2 - x - 20 = 0$

$(x-5)(x+4) = 0$

$x = 5, -4$

よって、C $(5, 25)$、D $(-4, 16)$となる。

点Eは $y=x+12$ とy軸との交点なので、E $(0, 12)$となる。

四角形ABCDの面積を求める。台形ABCDは上底AD、下底BC、高さ（BCとADのx座標の差）によって構成される。

ADの長さは $\sqrt{(-4 - (-3))^2 + (16 - 9)^2} = \sqrt{1+49} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}$.

BCの長さは $\sqrt{(5 - 4)^2 + (25 - 16)^2} = \sqrt{1+81} = \sqrt{82}$.

台形ABCDの高さは二つの直線が平行であることから、$x$軸に垂直な直線で考える。

台形ABCDの面積は、平行な二つの直線 $y=x+12$ と $y=x+20$ で挟まれた四角形の面積である。

四角形ABCDの面積をSとする。S = (上底 + 下底) * 高さ /

2. ここで上底は線分ADであり、下底は線分BCである。四角形は台形ではないので、ADとBCの間の距離という高さを算出するのは困難である。

そこで、四角形ABCDを三角形ADCと三角形ABCに分割して面積を計算する。

三角形ADCの面積は、A $(-3, 9)$, D $(-4, 16)$, C $(5, 25)$を用いる。

面積は$\frac{1}{2} |(-3(16-25) + (-4)(25-9) + 5(9-16))| = \frac{1}{2} |27 - 64 - 35| = \frac{1}{2} |-72| = 36$。

三角形ABCの面積は、A $(-3, 9)$, B $(4, 16)$, C $(5, 25)$を用いる。

面積は$\frac{1}{2} |(-3(16-25) + 4(25-9) + 5(9-16))| = \frac{1}{2} |27 + 64 - 35| = \frac{1}{2} |56| = 28$。

よって、四角形ABCDの面積は $36 + 28 = 64$。

点Eを通る直線が四角形ABCDの面積を二等分するので、面積は32になる。

点E $(0, 12)$ を通り、四角形ABCDの面積を二等分する直線は、線分の中点を通る。

四角形ABCDの面積を二等分する直線は、ADとBCの中点を通るわけではない。

求める直線は、点E $(0, 12)$ を通るので、$y = ax + 12$ と表せる。

この直線と四角形ABCDとの交点を求め、面積が32になるようにaを決定する必要があるが、計算が複雑になる。

別の方針で考える。四角形ABCDの面積を二等分する直線は、平行な二つの直線の中点を通る。

二つの直線 $y=x+12$, $y=x+20$ の中点を通る直線は $y=x+16$。

Eを通る直線は $y = ax + 12$ なので、この直線と $y=x+16$ の交点を求めても意味がない。

四角形ABCDの重心を求める。重心は各頂点の座標の平均で求められる。

重心のx座標は $(-3+4+5-4)/4 = 2/4 = 1/2$

重心のy座標は $(9+16+25+16)/4 = 66/4 = 33/2 = 16.5$

重心Gの座標は $(1/2, 33/2)$

E $(0, 12)$ を通り、G $(1/2, 33/2)$ を通る直線を求める。

傾きは $(33/2 - 12) / (1/2 - 0) = (33/2 - 24/2) / (1/2) = (9/2) / (1/2) = 9$

よって、求める直線は $y = 9x + 12$

3. 最終的な答え

$y = 9x + 12$