長方形ABCDがあり、点PはAから秒速2cmでAD, DC上を移動し、点QはAから秒速6cmでAB, BC上を移動する。PQを結ぶ直線が初めて辺ABに垂直になるのは、出発してから何秒後か。長方形の辺の長さはAD=80cm、AB=48cmである。

1. 問題の内容

長方形ABCDがあり、点PはAから秒速2cmでAD, DC上を移動し、点QはAから秒速6cmでAB, BC上を移動する。PQを結ぶ直線が初めて辺ABに垂直になるのは、出発してから何秒後か。長方形の辺の長さはAD=80cm、AB=48cmである。

2. 解き方の手順

PQを結ぶ直線がABに垂直になるのは、PがAD上にあり、QがAB上にある時である。

このとき、APの長さは、$2t$ cm、AQの長さは$6t$ cmと表せる。

QがAB上にいることから、$6t \leq 48$が成り立つ。よって、$t \leq 8$である。

PがAD上にいることから、$2t \leq 80$が成り立つ。よって、$t \leq 40$である。

PQを結ぶ直線が初めてABに垂直になるのは、$2t$がADの長さ(80cm)に等しく、かつ$6t$がABの長さ(48cm)に等しいときである。これはありえない。

PQを結ぶ直線がABに垂直になるのは、PがAD上にあるときなので、$0 < 2t < 80$が成り立つ。したがって、$0 < t < 40$である。

QがAB上にあるとき、$PQ \perp AB$は起こりえない。なぜなら点Pが点Aにあるとき$t=0$であり、点Qも点Aにあるからである。

PがAD上にある場合、PQがABに垂直となるには、QがAB上に存在する必要がある。

このとき、$2t$ は点Pの位置を示し、$6t$ は点Qの位置を示す。

PQがABに垂直になるのは、Pが点Dに到達し、QがAB上にある時である。このときの$t$は、$2t = 80$ より、$t = 40$である。

このとき、$6t = 6 \times 40 = 240$である。QはABを往復するので、$240 = 48 \times n + r$となる$n$と$r$を求める。

$240 = 48 \times 5 + 0$となるので、点QはAにいる。

次に、QがBC上にいる場合を考える。

QがAB上を往復し、BC上にいるとき、PQがABに垂直になるのは、PがAD上にあるとき。

QがBC上にあるとき、$48 + (6t - 48) \leq 48 + 48 = 96$を満たす必要がある。

PがAD上にあるとき、$2t < 80$である。

QがBC上にいる時、$PQ \perp AB$となるには、点PがAにいる必要がある。つまり、$t=0$である。

しかし、この場合、$PQ \perp AB$となることはない。

QがBC上にあるとき、$48 + (6t - 48) = 6t$

PQがABに垂直になるには、$AP = AD = 80cm$が必要で、そのとき、$2t = 80$より、$t = 40$である。

このとき、点Qは、$6 \times 40 = 240 cm$移動している。

$240 - 48 - 48 = 144 cm$

QはABを往復し、BCにいることになる。

240 = 48 + (6t - 48)

144/6 = 24

Pが点Aから点Dに移動するのに40秒かかる。

QはBC上にある。

点Qの移動距離が48cmになったときを考える。

$6t = 48$より、$t=8$

APの距離は16cm

PQを結んだ直線が辺ABに垂直になることはない。

3. 最終的な答え

該当なし