長方形ABCDがあり、点Pと点Qは点Aを同時に出発します。点Pは秒速2cmでAD, DC上をA→D→C→D→Aの順に移動し、点Qは秒速6cmでAB, BC上をA→B→C→B→Aの順に移動します。PQを結ぶ直線が初めて辺ABに平行になるのは出発してから何秒後かを求めます。長方形の辺の長さは、AD=80cm、CD=48cmです。

1. 問題の内容

長方形ABCDがあり、点Pと点Qは点Aを同時に出発します。点Pは秒速2cmでAD, DC上をA→D→C→D→Aの順に移動し、点Qは秒速6cmでAB, BC上をA→B→C→B→Aの順に移動します。PQを結ぶ直線が初めて辺ABに平行になるのは出発してから何秒後かを求めます。長方形の辺の長さは、AD=80cm、CD=48cmです。

2. 解き方の手順

PQを結ぶ直線が初めて辺ABに平行になるのは、点Pが辺AD上を移動し、点Qが辺AB上を移動しているとき、または点Pが辺DC上を移動し、点Qが辺BC上を移動しているときです。

* **ケース1: PがAD上に、QがAB上にいるとき**

PがAD上にいるとき、AP = 2t。QがAB上にいるとき、AQ = 6t。

PQがABと平行になるためには、AP = BQである必要があり、ADとABの比に等しくなる条件から $\frac{AP}{AQ} = \frac{48}{80}$ となります。

したがって、$\frac{2t}{6t} = \frac{1}{3} = \frac{48}{80}$が成り立つかどうかを確認する必要があります。明らかに $\frac{1}{3} \neq \frac{3}{5}$ なので、このケースは該当しません。

* **ケース2: PがDC上に、QがBC上にいるとき**

PがAD上を移動し終えてDC上にいる場合を考えます。PがADを移動するのにかかる時間は $\frac{80}{2} = 40$ 秒です。したがって、DC上にいるときのPの位置は、Dからの距離を $2(t-40)$ と表せます。

QがAB上を移動し終えてBC上にいる場合を考えます。QがABを移動するのにかかる時間は $\frac{80}{6} = \frac{40}{3}$ 秒です。したがって、BC上にいるときのQの位置は、Bからの距離を $6(t-\frac{40}{3})$ と表せます。

PQがABと平行になるためには、DP = BQである必要があり、$\frac{DP}{BQ} = \frac{80}{48} = \frac{5}{3}$となります。

したがって、$DP = 80-2(t-40)$ と $BQ = 6(t-\frac{40}{3}) - 48$ とすると、PQがABと平行になるためには、$AD - AP = AB - AQ$である必要があり、$\frac{80}{48} = \frac{5}{3}$の関係から $AP=BQ$なので、

$80 - 2(t-40) = 6(t-\frac{40}{3})-48$

$80-2t+80 = 6t - 80 -48$

$160-2t = 6t-128$

$288 = 8t$

$t = 36$

しかし、$t>\frac{40}{3} \approx 13.3$なので、点QはすでにBC上にいる必要があります。

$6(t- \frac{80}{6})$と点Pが点Dからどれだけ離れているか$2(t-40)$を比較する必要がある。

$\frac{AP}{AB} = \frac{48}{80}$のとき初めて平行になるので、点PがADを移動するのに40秒、$t>40$、点QがAB上を移動するのに$\frac{80}{6}$秒、$t> \frac{80}{6}$

$AQ = 6t -80$、点PのADからの移動距離$AP = 80-2(t-40) = 160-2t$

$\frac{AQ}{AB} = \frac{AP}{AD} \Rightarrow \frac{48}{80}$

$\frac{80-2t+80}{80}=\frac{6t-80}{48} \Rightarrow 8t = 288, t = 36$

ADを往復する時間を考えると、$40$秒。 $160/6 = 80/3$秒

$\frac{40}{3}$秒で戻る。

3. 最終的な答え

36 秒後