長方形ABCDがあり、点Pと点Qが頂点Aを同時に出発します。点Pは秒速2cmで辺AD, 辺DC上をA→D→C→D→Aの順に往復します。点Qは秒速6cmで辺AB、辺BC上をA→B→C→B→Aの順に往復します。PQを結ぶ直線が初めて長方形ABCDの面積を2等分するのは出発してから何秒後ですか。長方形のADの長さは80cm、DCの長さは48cmです。

1. 問題の内容

長方形ABCDがあり、点Pと点Qが頂点Aを同時に出発します。点Pは秒速2cmで辺AD, 辺DC上をA→D→C→D→Aの順に往復します。点Qは秒速6cmで辺AB、辺BC上をA→B→C→B→Aの順に往復します。PQを結ぶ直線が初めて長方形ABCDの面積を2等分するのは出発してから何秒後ですか。長方形のADの長さは80cm、DCの長さは48cmです。

2. 解き方の手順

長方形ABCDの面積は $80 \times 48 = 3840$ 平方cmです。

PQを結ぶ直線が初めて長方形ABCDの面積を2等分するとき、三角形APQの面積は長方形ABCDの面積の半分、つまり $3840/2 = 1920$ 平方cmとなります。

まず、点Pが辺AD上にあり、点Qが辺AB上にある場合を考えます。

このとき、AP = 2t、AQ = 6t となります。

三角形APQの面積は $1/2 \times AP \times AQ = 1/2 \times 2t \times 6t = 6t^2$ です。

$6t^2 = 1920$ を解くと、$t^2 = 320$、$t = \sqrt{320} = 8\sqrt{5} \approx 17.89$ となります。

ADの長さは80cmなので、点PがDに到達するまでの時間は $80/2 = 40$ 秒です。

ABの長さは48cmなので、点QがBに到達するまでの時間は $48/6 = 8$ 秒です。

$t=8\sqrt{5}$は、QがBに到達する時間を超えているので、点Qは辺AB上にはありません。

次に、点Pが辺AD上にあり、点Qが辺BC上にある場合を考えます。点QはAB上を移動後、BC上を移動します。

点QがBに到達する時間は $48/6=8$秒です。点QがBC上にいるとき、$t>8$です。

AP=2t、点QからABに対する垂線の長さはABの長さに等しいので48cmです。

点QがBから進んだ距離をxとすると、$x=6t-48$となります。点QのBCからの距離はxとなります。

三角形APQの面積は長方形の半分なので、$1920 = \frac{1}{2} \times AP \times AB + \frac{1}{2} \times AP \times x = \frac{1}{2} \times 2t \times 48 + \frac{1}{2} \times 2t \times (6t-48) = 48t + 6t^2 - 48t = 6t^2$ となります。

これは最初に考えたものと同じです。

なので、$6t^2 = 1920$より、$t=8\sqrt{5} \approx 17.89$ となります。

点QがCに到達する時間は、$48/6 + 48/6 = 16$秒です。

点QがBC上を移動中の時間は $t-8$秒です。

点PがAD上にいる間、ADの長さは80cmなので、点PがDに到達するのは $80/2 = 40$秒後です。

$17.89 < 40$なので、点PはまだAD上にいます。

点QがBC上にいる可能性があるので、この場合が初めて面積を2等分する直線となる可能性があります。

次に点PがDC上にあり、点QがBC上にある場合を考えます。

点PがAD上を進み、Dに到達する時間は $80/2 = 40$秒です。そこからさらにDC上を進むので、$t>40$です。

APとAQを結ぶ線が長方形を2等分するということは、点PはABから40進んだ点にいて、QはADから24進んだ点にいるということです。

t秒後のPの位置を考えます。ADを進んだ後、DCを進むので、Pの座標は(x,80)です。xは48-2(t-40)と表されます。

t秒後のQの位置を考えます。ABを進んだ後、BCを進むので、Qの座標は(48,y)です。yは6(t)-48です。

しかし、このアプローチは複雑になるので、別の方法を検討します。

三角形APQが長方形の面積の半分になるとき、直線PQは長方形の中心を通る必要があります。長方形の中心は (48/2, 80/2) = (24, 40) です。

直線PQの式を求め、それが (24, 40) を通る条件を求めます。

Pの座標は、t<40 のとき (2t, 0)、t>40 のとき (48, 80-2(t-40)) となります。

Qの座標は、t<8 のとき (0, 6t)、8<t<16 のとき (48, 6(t-8)) となります。

t<8 のとき、P(2t, 0), Q(0, 6t) なので、直線PQの式は (x/(2t)) + (y/(6t)) = 1 となり、3x + y = 6t です。

(24, 40) を通るので、3(24) + 40 = 6t、72 + 40 = 6t、112 = 6t、t = 112/6 = 56/3 = 18.67 > 8 です。

8 < t < 16 のとき、P(2t, 0), Q(48, 6(t-8)) なので、直線PQの式はどうなるか？

$t=56/3$ は点Qが辺BC上にいる場合なので、$16 \leq t \leq 24$を満たしているか考える必要があります。

$16 \leq 56/3 \leq 24$ は、$48 \leq 56 \leq 72$ と同じ意味なので、これは成り立ちます。

3. 最終的な答え

$56/3$ 秒後