円Oにおいて、直線ATは点Aで円Oに接している。$\angle BAT = 32^\circ$ であるとき、$\angle AOB = x$ の値を求める。

1. 問題の内容

円Oにおいて、直線ATは点Aで円Oに接している。$\angle BAT = 32^\circ$ であるとき、$\angle AOB = x$ の値を求める。

2. 解き方の手順

* 円周角の定理より、$\angle ACB = \angle BAT = 32^\circ$。

* $\triangle OAC$ において、$OA=OC$（円の半径）であるから、$\triangle OAC$ は二等辺三角形である。よって、$\angle OAC = \angle OCA$。

* $\angle AOC = 180^\circ - 2 \angle OCA = 180^\circ - 2 \angle ACB = 180^\circ - 2 \times 32^\circ = 180^\circ - 64^\circ = 116^\circ$。

* 中心角の定理より、$\angle AOB = 2 \angle ACB$。しかし、$\angle AOC = 116^\circ$ であるから、$\angle AOB$ は $x$ の値と異なり、円周角に対応する中心角ではない。

* $\angle ACB$ に対する中心角を考えます。$\angle AOB$ は劣弧ABに対する中心角なので、優弧ABに対する中心角は $360^\circ - x$ となります。

* 中心角と円周角の関係より $360^\circ - x = 2 \angle ACB$。すると、$360^\circ - x = 2 \times 32^\circ = 64^\circ$ となるので、移項して $x = 360^\circ - 64^\circ = 296^\circ$ となります。これは $\angle AOB$ の値としては不適切です。

* 円の弦に対する円周角と中心角の関係を使うのではなく、接弦定理を利用します。

$\angle ACB = 32^\circ$ なので、$x = \angle AOB$ について考えます。$\angle AOB$ は中心角です。$\angle ACB$ は円周角です。

$\angle AOB = 2 \angle ACB$の関係が成り立つのは、$AB$ の短い方の弧に対する円周角$\angle ACB$と、中心角$\angle AOB$の場合です。

この問題では、$AB$ の長い方の弧に対する円周角が$\angle ACB$なので、$\angle AOB \neq 2 \angle ACB$ となります。

* $\angle AOB$を求めます。$\angle AOC = 180^\circ - 2 \angle ACO$ でした。$\angle ACO = \angle ACT = \angle ABT = 32^\circ$ です。よって、$\angle AOC = 180^\circ - 2 \times 32^\circ = 180^\circ - 64^\circ = 116^\circ$となります。$\triangle OAB$は二等辺三角形なので、$\angle OAB = \angle OBA = (180^\circ - x)/2$

* $\angle OAT = 90^\circ$ なので、$\angle OAB + \angle BAT = 90^\circ$ です。$\angle OAB = 90^\circ - \angle BAT = 90^\circ - 32^\circ = 58^\circ$ です。

* $\angle OAB = 58^\circ = (180^\circ - x)/2$ なので、$116^\circ = 180^\circ - x$ となります。したがって、$x = 180^\circ - 116^\circ = 64^\circ$ となります。

3. 最終的な答え

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