空間内の平面 $\pi: x + y - 2z + 1 = 0$ と点 $A(4, 1, -3)$ が与えられている。 (1) 点Aを通り、平面$\pi$に垂直な直線$\ell$の方程式を求める。 (2) 直線$\ell$と平面$\pi$の交点Bの座標を求める。

1. 問題の内容

空間内の平面 $\pi: x + y - 2z + 1 = 0$ と点 $A(4, 1, -3)$ が与えられている。

(1) 点Aを通り、平面$\pi$に垂直な直線$\ell$の方程式を求める。

(2) 直線$\ell$と平面$\pi$の交点Bの座標を求める。

2. 解き方の手順

(1) 平面$\pi$の法線ベクトルを$\vec{n} = (1, 1, -2)$とする。直線$\ell$は点Aを通り、$\vec{n}$に平行な直線なので、その方程式は、実数$t$を用いて

$\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \\ 1 \\ -3 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ -2 \end{pmatrix}$

と表される。

したがって、直線$\ell$の方程式は、

$x = 4 + t$

$y = 1 + t$

$z = -3 - 2t$

と表せる。

(2) 交点Bの座標を$(x, y, z)$とすると、Bは直線$\ell$上の点なので、ある実数$t$を用いて、

$x = 4 + t$

$y = 1 + t$

$z = -3 - 2t$

と表せる。また、Bは平面$\pi$上の点でもあるので、$x + y - 2z + 1 = 0$を満たす。

これらを代入して、

$(4 + t) + (1 + t) - 2(-3 - 2t) + 1 = 0$

$4 + t + 1 + t + 6 + 4t + 1 = 0$

$6t + 12 = 0$

$6t = -12$

$t = -2$

これを直線の方程式に代入すると、

$x = 4 + (-2) = 2$

$y = 1 + (-2) = -1$

$z = -3 - 2(-2) = -3 + 4 = 1$

したがって、交点Bの座標は$(2, -1, 1)$である。

3. 最終的な答え

(1) 直線$\ell$の方程式：

$x = 4 + t$, $y = 1 + t$, $z = -3 - 2t$ （$t$は実数）

(2) 交点Bの座標：

$(2, -1, 1)$