$\sin \theta = \frac{2}{3}$ のとき、$\sin(90^\circ - \theta)$ の値を求めよ。ただし、$\theta$ は鋭角である。

1. 問題の内容

$\sin \theta = \frac{2}{3}$ のとき、$\sin(90^\circ - \theta)$ の値を求めよ。ただし、$\theta$ は鋭角である。

2. 解き方の手順

$\sin(90^\circ - \theta) = \cos \theta$ の関係を利用する。

$\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ の関係を用いると、

$\cos^2 \theta = 1 - \sin^2 \theta$

$\cos \theta = \pm \sqrt{1 - \sin^2 \theta}$

$\theta$ は鋭角なので、$\cos \theta > 0$ である。

したがって、$\cos \theta = \sqrt{1 - \sin^2 \theta}$ となる。

$\sin \theta = \frac{2}{3}$ より、

$\cos \theta = \sqrt{1 - (\frac{2}{3})^2} = \sqrt{1 - \frac{4}{9}} = \sqrt{\frac{9-4}{9}} = \sqrt{\frac{5}{9}} = \frac{\sqrt{5}}{3}$

$\sin(90^\circ - \theta) = \cos \theta = \frac{\sqrt{5}}{3}$

3. 最終的な答え

$\sin(90^\circ - \theta) = \frac{\sqrt{5}}{3}$