$\triangle ABC$ において、辺 $AB$ の中点を $M$、線分 $CM$ の中点を $D$、辺 $BC$ を $2:1$ に内分する点を $E$ とします。$\overrightarrow{AB} = \vec{b}$、$\overrightarrow{AC} = \vec{c}$ とするとき、3点 $A$, $D$, $E$ が同一直線上にあることを証明してください。

1. 問題の内容

$\triangle ABC$ において、辺 $AB$ の中点を $M$、線分 $CM$ の中点を $D$、辺 $BC$ を $2:1$ に内分する点を $E$ とします。$\overrightarrow{AB} = \vec{b}$、$\overrightarrow{AC} = \vec{c}$ とするとき、3点 $A$, $D$, $E$ が同一直線上にあることを証明してください。

2. 解き方の手順

まず、$\overrightarrow{AD}$ と $\overrightarrow{AE}$ を $\vec{b}$ と $\vec{c}$ を用いて表します。

* $\overrightarrow{AM} = \frac{1}{2}\overrightarrow{AB} = \frac{1}{2}\vec{b}$

* $\overrightarrow{AC} = \vec{c}$

* $\overrightarrow{CM} = \overrightarrow{AM} - \overrightarrow{AC} = \frac{1}{2}\vec{b} - \vec{c}$

* $\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{CD} = \overrightarrow{AC} + \frac{1}{2}\overrightarrow{CM} = \vec{c} + \frac{1}{2}\left(\frac{1}{2}\vec{b} - \vec{c}\right) = \frac{1}{4}\vec{b} + \frac{1}{2}\vec{c}$

次に、$\overrightarrow{AE}$ を $\vec{b}$ と $\vec{c}$ を用いて表します。

* $\overrightarrow{AE} = \frac{1 \cdot \overrightarrow{AB} + 2 \cdot \overrightarrow{AC}}{2+1} = \frac{1}{3}\overrightarrow{AB} + \frac{2}{3}\overrightarrow{AC} = \frac{1}{3}\vec{b} + \frac{2}{3}\vec{c}$

ここで、$\overrightarrow{AE}$ を $\overrightarrow{AD}$ の定数倍で表せることを示します。

$\overrightarrow{AE} = k\overrightarrow{AD}$ とおくと、

$\frac{1}{3}\vec{b} + \frac{2}{3}\vec{c} = k(\frac{1}{4}\vec{b} + \frac{1}{2}\vec{c})$

$\frac{1}{3}\vec{b} + \frac{2}{3}\vec{c} = \frac{k}{4}\vec{b} + \frac{k}{2}\vec{c}$

$\vec{b}$と$\vec{c}$は一次独立なので

$\frac{1}{3} = \frac{k}{4}$ かつ $\frac{2}{3} = \frac{k}{2}$

いずれの式からも $k = \frac{4}{3}$ が得られます。

よって、$\overrightarrow{AE} = \frac{4}{3}\overrightarrow{AD}$ となるので、3点 $A, D, E$ は同一直線上にあります。

3. 最終的な答え

3点 $A, D, E$ は同一直線上にある。