三角形ABCにおいて、AB=4、BC=√21、∠A=60°のとき、CAの長さを求めよ。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、AB=4、BC=√21、∠A=60°のとき、CAの長さを求めよ。

2. 解き方の手順

余弦定理を用いてCAの長さを求めます。余弦定理は、三角形のある角とその対辺、および残りの2辺の長さの関係を表す定理です。今回は、∠Aとその対辺BC、および辺ABと求める辺CAの関係を利用します。

余弦定理は以下の通りです。

$BC^2 = AB^2 + CA^2 - 2 \cdot AB \cdot CA \cdot \cos A$

与えられた値を代入すると、

$(\sqrt{21})^2 = 4^2 + CA^2 - 2 \cdot 4 \cdot CA \cdot \cos 60^\circ$

$21 = 16 + CA^2 - 8 \cdot CA \cdot \frac{1}{2}$

$21 = 16 + CA^2 - 4CA$

整理すると、

$CA^2 - 4CA - 5 = 0$

この二次方程式を解きます。因数分解すると、

$(CA - 5)(CA + 1) = 0$

したがって、CA = 5 または CA = -1となります。

辺の長さは負の値を取らないため、CA = 5となります。

3. 最終的な答え

CA = 5