三角形ABCにおいて、$BC = a$, $AB = c$, $a\cos A = c\cos C$であるとき、三角形ABCはどのような三角形かを答える問題です。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、$BC = a$, $AB = c$, $a\cos A = c\cos C$であるとき、三角形ABCはどのような三角形かを答える問題です。

2. 解き方の手順

余弦定理より、

$\cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}$

$\cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}$

与えられた条件 $a\cos A = c\cos C$に代入すると、

$a \cdot \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc} = c \cdot \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}$

両辺に$2ab$を掛けて整理します。

$a^2 \cdot \frac{b^2 + c^2 - a^2}{c} = c \cdot (a^2 + b^2 - c^2)$

$a^2(b^2 + c^2 - a^2) = c^2(a^2 + b^2 - c^2)$

$a^2b^2 + a^2c^2 - a^4 = c^2a^2 + c^2b^2 - c^4$

$a^2b^2 - a^4 = c^2b^2 - c^4$

$a^2b^2 - c^2b^2 = a^4 - c^4$

$b^2(a^2 - c^2) = (a^2 - c^2)(a^2 + c^2)$

$b^2(a^2 - c^2) - (a^2 - c^2)(a^2 + c^2) = 0$

$(a^2 - c^2)(b^2 - a^2 - c^2) = 0$

したがって、$a^2 - c^2 = 0$または$b^2 - a^2 - c^2 = 0$。

(i) $a^2 - c^2 = 0$ のとき、$a^2 = c^2$より$a=c$（∵$a>0, c>0$）。これは$BC=AB$であることを意味するので、三角形ABCは$AB=BC$の二等辺三角形である。

(ii) $b^2 - a^2 - c^2 = 0$ のとき、$b^2 = a^2 + c^2$。これはピタゴラスの定理を満たすので、三角形ABCは$∠B = 90°$の直角三角形である。

したがって、三角形ABCは、$AB=BC$の二等辺三角形、または、$∠B = 90°$の直角三角形である。

3. 最終的な答え

三角形ABCは、$AB=BC$の二等辺三角形、または、$∠B = 90°$の直角三角形である。