三角形ABCにおいて、$a=7$, $b=5$, $c=4$であるとき、$\cos A$と$\sin A$の値を求め、さらに三角形ABCの面積Sを求める。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、$a=7$, $b=5$, $c=4$であるとき、$\cos A$と$\sin A$の値を求め、さらに三角形ABCの面積Sを求める。

2. 解き方の手順

まず、$\cos A$を余弦定理を使って求める。余弦定理は、$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos A$である。

この式を変形して$\cos A$を求める。

次に、$\sin A$を$\sin^2 A + \cos^2 A = 1$という関係式を使って求める。$\sin A$は正の値をとるので、正の平方根をとる。

最後に、三角形の面積Sを$S = \frac{1}{2}bc \sin A$という公式を使って求める。

まず、$\cos A$を求める。

$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos A$

$7^2 = 5^2 + 4^2 - 2 \cdot 5 \cdot 4 \cos A$

$49 = 25 + 16 - 40 \cos A$

$49 = 41 - 40 \cos A$

$8 = -40 \cos A$

$\cos A = -\frac{8}{40} = -\frac{1}{5}$

次に、$\sin A$を求める。

$\sin^2 A + \cos^2 A = 1$

$\sin^2 A = 1 - \cos^2 A$

$\sin^2 A = 1 - (-\frac{1}{5})^2$

$\sin^2 A = 1 - \frac{1}{25} = \frac{24}{25}$

$\sin A = \sqrt{\frac{24}{25}} = \frac{\sqrt{24}}{5} = \frac{2\sqrt{6}}{5}$

最後に、三角形の面積Sを求める。

$S = \frac{1}{2}bc \sin A$

$S = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 4 \cdot \frac{2\sqrt{6}}{5}$

$S = 2 \cdot 2\sqrt{6}$

$S = 4\sqrt{6}$

3. 最終的な答え

$\cos A = -\frac{1}{5}$

$\sin A = \frac{2\sqrt{6}}{5}$

三角形ABCの面積 S = $4\sqrt{6}$