一辺の長さが2の正四面体ABCDがあり、辺BCの中点をMとします。 (1) $\cos \angle AMD$の値を求めます。 (2) 直線BCに関して点Dと対称な点をEとするとき、線分AEの長さを求めます。 (3) Eを(2)で定めた点とし、辺BDの中点をNとするとき、$\triangle AEN$の面積を求め、さらに点Bから平面AENに下ろした垂線と平面AENとの交点をHとするとき、線分BHの長さを求めます。

はい、承知いたしました。与えられた数学の問題を解いていきます。

1. 問題の内容

一辺の長さが2の正四面体ABCDがあり、辺BCの中点をMとします。

(1) $\cos \angle AMD$の値を求めます。

(2) 直線BCに関して点Dと対称な点をEとするとき、線分AEの長さを求めます。

(3) Eを(2)で定めた点とし、辺BDの中点をNとするとき、$\triangle AEN$の面積を求め、さらに点Bから平面AENに下ろした垂線と平面AENとの交点をHとするとき、線分BHの長さを求めます。

2. 解き方の手順

(1) $\cos \angle AMD$を求める。

$\triangle ABM$において、$AM = \sqrt{AB^2 - BM^2} = \sqrt{2^2 - 1^2} = \sqrt{3}$.

同様に、$DM = \sqrt{3}$.

$\triangle AMD$において、余弦定理より、

$AD^2 = AM^2 + DM^2 - 2AM \cdot DM \cdot \cos \angle AMD$

$2^2 = (\sqrt{3})^2 + (\sqrt{3})^2 - 2 \cdot \sqrt{3} \cdot \sqrt{3} \cdot \cos \angle AMD$

$4 = 3 + 3 - 6 \cos \angle AMD$

$6 \cos \angle AMD = 2$

$\cos \angle AMD = \frac{1}{3}$

(2) 線分AEの長さを求める。

EはDと直線BCに関して対称なので、$BE=BD=2, CE=CD=2$。

また、MはBCの中点なので、$\triangle ABE$において$AM$は中線である。中線定理より

$AB^2 + AE^2 = 2(AM^2 + BM^2)$

$2^2 + AE^2 = 2((\sqrt{3})^2 + 1^2)$

$4 + AE^2 = 2(3 + 1) = 8$

$AE^2 = 4$

$AE = 2$

(3) $\triangle AEN$の面積を求め、さらに線分BHの長さを求める。

NはBDの中点なので、$BN = ND = 1$。

$\triangle ABD$において、$AN = \sqrt{AB^2 - BN^2} = \sqrt{2^2 - 1^2} = \sqrt{3}$.

$\triangle ABE$において、点Nは線分BDの中点。

$AE=2$, $AN=\sqrt{3}$, $EN = \sqrt{BE^2 - BN^2} = \sqrt{2^2 - 1^2} = \sqrt{3}$.

$\triangle AEN$は$AN=EN$の二等辺三角形なので、頂点NからAEに下ろした垂線の足をIとすると、$AI = \frac{1}{2} AE = 1$.

$NI = \sqrt{AN^2 - AI^2} = \sqrt{(\sqrt{3})^2 - 1^2} = \sqrt{3 - 1} = \sqrt{2}$.

$\triangle AEN$の面積 $= \frac{1}{2} AE \cdot NI = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot \sqrt{2} = \sqrt{2}$.

四面体ABDEについて、点Bから平面AENに下ろした垂線の長さをBHとすると、

$V = \frac{1}{3} \triangle AEN \cdot BH = \frac{1}{3} \sqrt{2} \cdot BH$.

一方、四面体ABDEの体積は、四面体ABCDの体積の2倍である。

正四面体ABCDの体積は、$\frac{\sqrt{2}}{12} \times 2^3 = \frac{2\sqrt{2}}{3}$

$V = 2 \times \frac{1}{6} \times AB \times BC \times AD = \frac{1}{3}\times 4\times\sqrt{2} = \frac{2\sqrt{2}}{3}$.

$\frac{\sqrt{2}}{3} \cdot BH = \frac{1}{3} V$ とおくと、

$V = \frac{\sqrt{2}}{6} (\sqrt{2})^3 =$

四面体ABDEの体積=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$.

$\frac{1}{3} \cdot \sqrt{2} \cdot BH = \frac{2\sqrt{2}}{3}$

$BH = 2$

3. 最終的な答え

(1) $\cos \angle AMD = \frac{1}{3}$

(2) $AE = 2$

(3) $\triangle AEN$の面積 $= \sqrt{2}$、線分BHの長さ$= 2$