円 $x^2 + y^2 = 1$ と直線 $y = mx + 2$ が共有点を持つとき、定数 $m$ の値の範囲を求める問題です。

1. 問題の内容

円 $x^2 + y^2 = 1$ と直線 $y = mx + 2$ が共有点を持つとき、定数 $m$ の値の範囲を求める問題です。

2. 解き方の手順

円と直線が共有点を持つための条件は、連立方程式を解いたときに実数解を持つことです。

$y = mx + 2$ を $x^2 + y^2 = 1$ に代入します。

$x^2 + (mx+2)^2 = 1$

$x^2 + m^2x^2 + 4mx + 4 = 1$

$(1+m^2)x^2 + 4mx + 3 = 0$

この2次方程式が実数解を持つための条件は、判別式 $D$ が $D \ge 0$ であることです。

$D = (4m)^2 - 4(1+m^2)(3) = 16m^2 - 12(1+m^2) = 16m^2 - 12 - 12m^2 = 4m^2 - 12$

$4m^2 - 12 \ge 0$

$m^2 - 3 \ge 0$

$m^2 \ge 3$

$m \le -\sqrt{3}$ または $m \ge \sqrt{3}$

3. 最終的な答え

$m \le -\sqrt{3}$ または $m \ge \sqrt{3}$