正四面体を1つの面を下にして置き、1つの辺を軸として3回転がします。2回目以降は、直前にあった場所を通らないようにします。 (1) 転がし方の総数を求めます。 (2) 3回転がした後の正四面体の位置の総数を求めます。

1. 問題の内容

正四面体を1つの面を下にして置き、1つの辺を軸として3回転がします。2回目以降は、直前にあった場所を通らないようにします。

(1) 転がし方の総数を求めます。

(2) 3回転がした後の正四面体の位置の総数を求めます。

2. 解き方の手順

(1) 転がし方の総数

最初の回転では、底面の3つの辺のいずれかを軸として回転させることができます。したがって、最初の回転の仕方は3通りです。

2回目以降の回転では、直前にあった場所を通らないようにする必要があります。つまり、直前に回転した辺を軸として回転することはできません。したがって、2回目の回転では、残りの2つの辺のいずれかを軸として回転させることができます。同様に、3回目の回転でも、残りの2つの辺のいずれかを軸として回転させることができます。

したがって、転がし方の総数は、$3 \times 2 \times 2 = 12$通りです。

(2) 3回転がした後の正四面体の位置の総数

正四面体の一つの面を下にしたときの、残りの3つの面の並び方は左右対称なものを除くと2通りあります。正四面体は4つの面を持つので、4 \* 2 = 8通りの位置がありえます。

1回目の回転では、底面の３つの辺のうちのいずれを軸にしても、到達する正四面体の場所は異なります。２回目以降も同様です。よって、転がし方の総数と同じく12通りですが、位置の総数は回転させた結果、同じ場所に戻る場合もあるため12以下になります。

正四面体は4つの面を持つので、どの面を下にするかで4通りの置き方があります。さらに、それぞれの置き方に対して3通りの回転があるので、合計で$4 \times 3 = 12$通りの位置がありえます。

1回目の回転では、正四面体の位置は3通りあります。

2回目の回転では、直前にあった場所を通らないので、位置の総数は6通りになります。

3回目の回転では、直前にあった場所を通らないので、位置の総数は12以下です。

しかし、3回転がした後に、正四面体の位置が重複する場合があるため、正四面体の位置の総数は12通りより少ない可能性があります。

3回転のパターンを実際に書き出してみます。正四面体の下面に1,2,3,4の数字を書き、それぞれの辺をa,b,cとします。初期状態として下面が1だったとします。

1回転目: a,b,cの3通り

2回転目: 2回の回転で元に戻らないように、1回転目をaとしたらb,cの選択肢。同様に1回転目をbとしたらa,cの選択肢、1回転目をcとしたらa,bの選択肢。この時点で3*2=6通りの位置

3回転目: ここで元に戻らないようにします。例えば1回転目をa、2回転目をbとしたら、３回転目の選択肢は2つありますが、結果として初期状態と同じ位置に戻るものがあります。この場合、位置の総数は回転方法の総数より少なくなります。

3回転後に同じ位置になるパターンを考えると、回転させた場所は元の場所の周囲３ヶ所に限られます。すなわち、最大３ヶ所です。

実際に正四面体を転がして考えると、３回転後には、必ず元の位置から隣接した３ヶ所しか移動できない事が分かります。よって３回転後の正四面体の位置の総数は３となります。

3. 最終的な答え

(1) 12

(2) 3