$\triangle ABC$において、$AB=4$, $\angle BAC = 135^\circ$ であり、面積が $7\sqrt{2}$ であるとき、$CA$の長さを求める問題です。

1. 問題の内容

$\triangle ABC$において、$AB=4$, $\angle BAC = 135^\circ$ であり、面積が $7\sqrt{2}$ であるとき、$CA$の長さを求める問題です。

2. 解き方の手順

$\triangle ABC$の面積を $S$ とすると、

$S = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot CA \cdot \sin{\angle BAC}$

が成り立ちます。

与えられた値より、$S = 7\sqrt{2}$, $AB=4$, $\angle BAC = 135^\circ$ なので、

$7\sqrt{2} = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot CA \cdot \sin{135^\circ}$

となります。

$\sin{135^\circ} = \sin{(180^\circ - 45^\circ)} = \sin{45^\circ} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ なので、

$7\sqrt{2} = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot CA \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$

$7\sqrt{2} = CA \cdot \sqrt{2}$

$CA = \frac{7\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

$CA = 7$

3. 最終的な答え

$CA = 7$