三角形ABCにおいて、$AB = 2\sqrt{2}$、$CA = 3$、$\angle A = 45^\circ$のとき、辺BCの長さを求める問題です。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、$AB = 2\sqrt{2}$、$CA = 3$、$\angle A = 45^\circ$のとき、辺BCの長さを求める問題です。

2. 解き方の手順

余弦定理を用いてBCの長さを求めます。

余弦定理は、三角形の辺の長さと一つの角の余弦の関係を表す定理で、次のように表されます。

$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos A$

ここで、$a = BC$, $b = CA = 3$, $c = AB = 2\sqrt{2}$, $A = 45^\circ$です。

$\cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$なので、余弦定理にこれらの値を代入すると、

$BC^2 = 3^2 + (2\sqrt{2})^2 - 2 \cdot 3 \cdot 2\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$

$BC^2 = 9 + 8 - 12$

$BC^2 = 5$

したがって、$BC = \sqrt{5}$となります。

3. 最終的な答え

$\sqrt{5}$