(1) 空間内の直線 $l: x-a = \frac{y+1}{b} = \frac{z-2}{3}$ が平面 $\alpha: x-2y+z-1=0$ に含まれるとき、実数 $a, b$ の値を求める。 (2) 点 $P(1,2,-1)$ を通り、2つの直線 $l_1: x+1 = \frac{y-4}{2} = \frac{z+2}{-2}$ と $l_2: x-1 = \frac{y-1}{-2} = \frac{z-1}{3}$ に平行な平面 $\beta$ の方程式を求める。

1. 問題の内容

(1) 空間内の直線 $l: x-a = \frac{y+1}{b} = \frac{z-2}{3}$ が平面 $\alpha: x-2y+z-1=0$ に含まれるとき、実数 $a, b$ の値を求める。

(2) 点 $P(1,2,-1)$ を通り、2つの直線 $l_1: x+1 = \frac{y-4}{2} = \frac{z+2}{-2}$ と $l_2: x-1 = \frac{y-1}{-2} = \frac{z-1}{3}$ に平行な平面 $\beta$ の方程式を求める。

2. 解き方の手順

(1) 直線 $l$ 上の任意の点 $Q(x, y, z)$ は、パラメータ $t$ を用いて以下のように表せる：

$x = a + t$

$y = -1 + bt$

$z = 2 + 3t$

この点が平面 $\alpha: x - 2y + z - 1 = 0$ 上にあるので、

$(a+t) - 2(-1+bt) + (2+3t) - 1 = 0$

$(a+t) + 2 - 2bt + 2 + 3t - 1 = 0$

$(a + 3) + (4 - 2b)t = 0$

この式が任意の $t$ について成り立つためには、

$a + 3 = 0$ かつ $4 - 2b = 0$

したがって、$a = -3$ かつ $b = 2$

(2) 直線 $l_1$ の方向ベクトルは $\vec{v_1} = (1, 2, -2)$、直線 $l_2$ の方向ベクトルは $\vec{v_2} = (1, -2, 3)$ である。平面 $\beta$ はこれらの直線に平行なので、その法線ベクトル $\vec{n}$ は $\vec{v_1}$ と $\vec{v_2}$ の外積に平行である。

$\vec{n} = \vec{v_1} \times \vec{v_2} = (2 \cdot 3 - (-2)(-2), -2 \cdot 1 - 1 \cdot 3, 1 \cdot (-2) - 1 \cdot 2) = (6-4, -2-3, -2-2) = (2, -5, -4)$

平面 $\beta$ の方程式は、点 $P(1, 2, -1)$ を通り、法線ベクトルが $\vec{n} = (2, -5, -4)$ であることから、

$2(x - 1) - 5(y - 2) - 4(z + 1) = 0$

$2x - 2 - 5y + 10 - 4z - 4 = 0$

$2x - 5y - 4z + 4 = 0$

3. 最終的な答え

(1) $a = -3$, $b = 2$

(2) $2x - 5y - 4z + 4 = 0$