問題は、以下の媒介変数表示がどのような曲線を表すかを答えることです。 (1) $x = 3\cos\theta + 2$, $y = 3\sin\theta - 1$ (2) $x = 3\cos\theta + 1$, $y = 2\sin\theta + 3$

1. 問題の内容

問題は、以下の媒介変数表示がどのような曲線を表すかを答えることです。

(1) $x = 3\cos\theta + 2$, $y = 3\sin\theta - 1$

(2) $x = 3\cos\theta + 1$, $y = 2\sin\theta + 3$

2. 解き方の手順

(1)

まず、$x$ と $y$ の式から $\cos\theta$ と $\sin\theta$ を求めます。

$x = 3\cos\theta + 2$ より、

$\cos\theta = \frac{x-2}{3}$

$y = 3\sin\theta - 1$ より、

$\sin\theta = \frac{y+1}{3}$

三角関数の恒等式 $\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$ を用いると、

$(\frac{x-2}{3})^2 + (\frac{y+1}{3})^2 = 1$

両辺に $3^2 = 9$ を掛けると、

$(x-2)^2 + (y+1)^2 = 9$

これは、中心が $(2, -1)$、半径が $3$ の円の方程式です。

(2)

同様に、$x$ と $y$ の式から $\cos\theta$ と $\sin\theta$ を求めます。

$x = 3\cos\theta + 1$ より、

$\cos\theta = \frac{x-1}{3}$

$y = 2\sin\theta + 3$ より、

$\sin\theta = \frac{y-3}{2}$

三角関数の恒等式 $\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$ を用いると、

$(\frac{x-1}{3})^2 + (\frac{y-3}{2})^2 = 1$

これは、中心が $(1, 3)$、長軸の長さが $2 \cdot 3 = 6$、短軸の長さが $2 \cdot 2 = 4$ の楕円の方程式です。

3. 最終的な答え

(1) 中心 $(2, -1)$、半径 $3$ の円

(2) 中心 $(1, 3)$、$\frac{(x-1)^2}{9} + \frac{(y-3)^2}{4} = 1$ の楕円