一辺の長さが $a$ cmの正方形ABCDがある。各辺を1cm伸ばした正方形AEFGの面積は、正方形ABCDの縦を1cm短くし、横を3cm長くした長方形AHKLの面積より、常に4cm$^2$広いことを証明する。

1. 問題の内容

一辺の長さが $a$ cmの正方形ABCDがある。各辺を1cm伸ばした正方形AEFGの面積は、正方形ABCDの縦を1cm短くし、横を3cm長くした長方形AHKLの面積より、常に4cm$^2$広いことを証明する。

2. 解き方の手順

まず、それぞれの図形の面積を$a$を用いて表す。

- 正方形ABCDの面積：$a^2$ cm$^2$

- 正方形AEFGの面積：$(a+1)^2$ cm$^2$

- 長方形AHKLの面積：$(a-1)(a+3)$ cm$^2$

次に、正方形AEFGの面積と長方形AHKLの面積の差を計算する。

$$(a+1)^2 - (a-1)(a+3) = (a^2 + 2a + 1) - (a^2 + 3a - a - 3) = a^2 + 2a + 1 - a^2 - 2a + 3 = 4$$

よって、正方形AEFGの面積は、長方形AHKLの面積より4cm$^2$広い。

この結果は、$a$の値に依存しないため、常に4cm$^2$広いことが示された。

3. 最終的な答え

正方形AEFGの面積は、長方形AHKLの面積より、常に4cm$^2$広い。