$\triangle ABC$ において、辺 $BC, CA, AB$ をそれぞれ $1:2$ に内分する点を $P, Q, R$ とする。点 $A, B, C, P, Q, R$ の位置ベクトルをそれぞれ $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}, \vec{p}, \vec{q}, \vec{r}$ とするとき、以下の問いに答えよ。 (1) $\vec{p}$ を $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ を用いて表せ。 (2) $\vec{q}$ を $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ を用いて表せ。 (3) $\vec{r}$ を $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ を用いて表せ。 (4) $\triangle PQR$ の重心を $G$ とするとき、 $G$ の位置ベクトル $\vec{g}$ を $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ を用いて表せ。

はい、承知いたしました。問題文を読み解き、順を追って解答します。

1. 問題の内容

$\triangle ABC$ において、辺 $BC, CA, AB$ をそれぞれ $1:2$ に内分する点を $P, Q, R$ とする。点 $A, B, C, P, Q, R$ の位置ベクトルをそれぞれ $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}, \vec{p}, \vec{q}, \vec{r}$ とするとき、以下の問いに答えよ。

(1) $\vec{p}$ を $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ を用いて表せ。

(2) $\vec{q}$ を $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ を用いて表せ。

(3) $\vec{r}$ を $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ を用いて表せ。

(4) $\triangle PQR$ の重心を $G$ とするとき、 $G$ の位置ベクトル $\vec{g}$ を $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ を用いて表せ。

2. 解き方の手順

(1) 点 $P$ は辺 $BC$ を $1:2$ に内分するので、内分点の公式より

$\vec{p} = \frac{2\vec{b} + 1\vec{c}}{1+2} = \frac{2\vec{b} + \vec{c}}{3}$

(2) 点 $Q$ は辺 $CA$ を $1:2$ に内分するので、内分点の公式より

$\vec{q} = \frac{2\vec{c} + 1\vec{a}}{1+2} = \frac{\vec{a} + 2\vec{c}}{3}$

(3) 点 $R$ は辺 $AB$ を $1:2$ に内分するので、内分点の公式より

$\vec{r} = \frac{2\vec{a} + 1\vec{b}}{1+2} = \frac{2\vec{a} + \vec{b}}{3}$

(4) $\triangle PQR$ の重心 $G$ の位置ベクトル $\vec{g}$ は、

$\vec{g} = \frac{\vec{p} + \vec{q} + \vec{r}}{3}$

となる。

$\vec{p}, \vec{q}, \vec{r}$ を代入すると

$\vec{g} = \frac{\frac{2\vec{b}+\vec{c}}{3} + \frac{\vec{a}+2\vec{c}}{3} + \frac{2\vec{a}+\vec{b}}{3}}{3} = \frac{2\vec{b}+\vec{c} + \vec{a}+2\vec{c} + 2\vec{a}+\vec{b}}{9} = \frac{3\vec{a} + 3\vec{b} + 3\vec{c}}{9} = \frac{\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}}{3}$

3. 最終的な答え

(1) $\vec{p} = \frac{2\vec{b} + \vec{c}}{3}$

(2) $\vec{q} = \frac{\vec{a} + 2\vec{c}}{3}$

(3) $\vec{r} = \frac{2\vec{a} + \vec{b}}{3}$

(4) $\vec{g} = \frac{\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}}{3}$