$\triangle ABC$ において、$AB=4, BC=5, CA=6$ である。$\angle BAC$ の二等分線と辺 $BC$ との交点を $D$、$\angle BAC$ の外角の二等分線と辺 $BC$ の延長との交点を $E$ とする。$BE$ と $DE$ の長さを求めよ。

1. 問題の内容

$\triangle ABC$ において、$AB=4, BC=5, CA=6$ である。$\angle BAC$ の二等分線と辺 $BC$ との交点を $D$、$\angle BAC$ の外角の二等分線と辺 $BC$ の延長との交点を $E$ とする。$BE$ と $DE$ の長さを求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$AD$ は $\angle BAC$ の二等分線なので、角の二等分線の定理より、

$BD:DC = AB:AC = 4:6 = 2:3$

$BC = 5$ であるから、

$BD = \frac{2}{2+3} \times 5 = \frac{2}{5} \times 5 = 2$

$DC = \frac{3}{2+3} \times 5 = \frac{3}{5} \times 5 = 3$

次に、$AE$ は $\angle BAC$ の外角の二等分線なので、外角の二等分線の定理より、

$BE:CE = AB:AC = 4:6 = 2:3$

$BE = x$ とすると、$CE = BE+BC = x+5$ となるので、

$x:(x+5) = 2:3$

$3x = 2(x+5)$

$3x = 2x+10$

$x = 10$

したがって、$BE = 10$

$DE = BE + BD = 10 + 2 = 12$

3. 最終的な答え

$BE = 10$

$DE = 12$