三角形ABCにおいて、AD = DB、AE = EC、DF : FC = 3 : 2である。BC = 6cm のとき、BG = x cm の値を求める。ただし、D, Eはそれぞれ辺AB, AC上の点であり、Fは線分DE上の点、Gは線分BFと辺ACの交点である。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、AD = DB、AE = EC、DF : FC = 3 : 2である。BC = 6cm のとき、BG = x cm の値を求める。ただし、D, Eはそれぞれ辺AB, AC上の点であり、Fは線分DE上の点、Gは線分BFと辺ACの交点である。

2. 解き方の手順

まず、DEはBCと平行である。なぜなら、AD=DB、AE=ECより、DEは三角形ABCの中点連結定理よりBCと平行だからである。

よって、$\triangle DFB$ と $\triangle CFG$は相似である。

したがって、対応する辺の比が等しいので、

$\frac{DF}{CF} = \frac{DB}{CG} = \frac{BG}{BC}$

が成り立つ。

問題より、$\frac{DF}{FC} = \frac{3}{2}$であり、AD = DBより$DB = \frac{1}{2} AB$である。また、$\frac{BG}{BC} = \frac{x}{6}$である。したがって、

$\frac{3}{2} = \frac{BG}{GC}$が成り立つ。

DE // BCより、$\triangle ADE \sim \triangle ABC$。したがって、$\frac{DE}{BC} = \frac{AD}{AB} = \frac{1}{2}$だから、$DE = \frac{1}{2} BC = \frac{1}{2} \times 6 = 3$である。

$\frac{DF}{FC}=\frac{3}{2}$より、$FC = \frac{2}{3}DF$。また、$DE = DF + FE$であり、$FE // BG$より$\triangle AFE \sim \triangle ABG$であるから、

$\frac{AF}{AG}=\frac{FE}{BG}=\frac{AE}{AB}=\frac{1}{2}$が成り立つ。

ここで、$GC = BC - BG = 6-x$である。

$\triangle DFB \sim \triangle CFG$より、$\frac{DF}{FC} = \frac{BG}{GC}$であるから、$\frac{3}{2} = \frac{x}{6-x}$。

これを解くと、$3(6-x) = 2x$より、$18 - 3x = 2x$、$5x = 18$、$x = \frac{18}{5} = 3.6$である。

3. 最終的な答え

x = 3.6