四面体OABCにおいて、$\vec{OA}=\vec{a}$、$\vec{OB}=\vec{b}$、$\vec{OC}=\vec{c}$とする。三角形OABの重心をG1とし、線分CG1を3:1に内分する点をPとする。また、三角形ABCの重心をG2とし、線分OG2を3:1に内分する点をQとする。このとき、点Pと点Qが一致することを示す。 (1) $\vec{OP}$を$\vec{a}$、$\vec{b}$、$\vec{c}$を用いて表す。

1. 問題の内容

四面体OABCにおいて、$\vec{OA}=\vec{a}$、$\vec{OB}=\vec{b}$、$\vec{OC}=\vec{c}$とする。三角形OABの重心をG1とし、線分CG1を3:1に内分する点をPとする。また、三角形ABCの重心をG2とし、線分OG2を3:1に内分する点をQとする。このとき、点Pと点Qが一致することを示す。

(1) $\vec{OP}$を$\vec{a}$、$\vec{b}$、$\vec{c}$を用いて表す。

2. 解き方の手順

(1)

まず、三角形OABの重心G1の位置ベクトル$\vec{OG_1}$を求める。重心の公式より、

$\vec{OG_1} = \frac{\vec{OA} + \vec{OB} + \vec{OO}}{3} = \frac{\vec{a} + \vec{b} + \vec{0}}{3} = \frac{\vec{a} + \vec{b}}{3}$

次に、線分CG1を3:1に内分する点Pの位置ベクトル$\vec{OP}$を求める。内分点の公式より、

$\vec{OP} = \frac{1 \cdot \vec{OC} + 3 \cdot \vec{OG_1}}{3+1} = \frac{\vec{c} + 3 \cdot \frac{\vec{a} + \vec{b}}{3}}{4} = \frac{\vec{c} + \vec{a} + \vec{b}}{4} = \frac{\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}}{4}$

3. 最終的な答え

$\vec{OP} = \frac{\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}}{4}$