円に内接する四角形ABCDにおいて、辺ABとDCの延長の交点をP、辺BCとADの延長の交点をQとする。$\angle P = 28^\circ$, $\angle Q = 54^\circ$, $AP = 16$, $PC = 7$, $AD = x = 8$である。このとき、$AB = y$ の値を求める問題である。

1. 問題の内容

円に内接する四角形ABCDにおいて、辺ABとDCの延長の交点をP、辺BCとADの延長の交点をQとする。$\angle P = 28^\circ$, $\angle Q = 54^\circ$, $AP = 16$, $PC = 7$, $AD = x = 8$である。このとき、$AB = y$ の値を求める問題である。

2. 解き方の手順

まず、$\angle P = 28^\circ$と$\angle Q = 54^\circ$が与えられている。四角形ABCDは円に内接しているので、四角形の外角は対角に等しいという性質を用いる。

$\angle QCB = \angle QAD = \angle Q = 54^\circ$

三角形PBCにおいて、$\angle PBC + \angle PCB + \angle P = 180^\circ$より、

$\angle PBC + \angle PCB + 28^\circ = 180^\circ$

$\angle PBC + \angle PCB = 152^\circ$

また、$\angle PCB = \angle QCB = 54^\circ$だから、

$\angle PBC + 54^\circ = 152^\circ$

$\angle PBC = 98^\circ$

四角形ABCDが円に内接しているので、

$\angle ADC + \angle ABC = 180^\circ$

$\angle ADC = 180^\circ - \angle ABC$

$\angle ABC = \angle PBC$より、$\angle ABC = 98^\circ$だから、

$\angle ADC = 180^\circ - 98^\circ = 82^\circ$

三角形APQにおいて、$\angle A + \angle P + \angle Q = 180^\circ$より、

$\angle A + 28^\circ + 54^\circ = 180^\circ$

$\angle A = 98^\circ$

円に内接する四角形ABCDにおいて、$\angle A + \angle C = 180^\circ$より、

$98^\circ + \angle C = 180^\circ$

$\angle C = 82^\circ$

三角形APQと三角形CPQについて、

$\angle A = 98^\circ$, $\angle C = 82^\circ$

方べきの定理より、$PA \times PB = PC \times PD$

また、$QA \times QD = QB \times QC$

$AP = 16$, $PC = 7$, $AD = 8$なので、$AQ = y$とおくと、$AB = x$とする。

方べきの定理より、$PA \times PB = PC \times PD$

$PA = 16$

$PB = PA - AB = 16 - y$

$PC = 7$

$PD = PC + CD$

ここで、三角形APQと三角形CPBにおいて、

$\angle P = 28^\circ$, $\angle PAQ = \angle PCB$

$\frac{AP}{CP}=\frac{AQ}{CB}=\frac{PQ}{PB}$

$AB = x$, $AP = 16$

$PB = AP - AB = 16 - x$

円に内接する四角形なので、$PA \times PB = PC \times PD$より

$16 \times (16 - y) = 7 \times (7 + DC)$

方べきの定理より、$QA \times QD = QB \times QC$より

$QA = 8$ , $QB = ?$

$PA \times PB = PC \times PD$

$16 \times y = 7(PC + CD)$

△PBQ∽△PCQより

3. 最終的な答え

$y = 9$