与えられた円錐の展開図から、以下の問いに答えます。 (1) 扇形の弧の長さを求めます。 (2) 扇形の中心角の大きさを求めます。 (3) 円錐の表面積を求めます。 (4) 円錐の体積が $324\pi$ cm$^3$ であるとき、高さを求めます。

1. 問題の内容

与えられた円錐の展開図から、以下の問いに答えます。

(1) 扇形の弧の長さを求めます。

(2) 扇形の中心角の大きさを求めます。

(3) 円錐の表面積を求めます。

(4) 円錐の体積が $324\pi$ cm$^3$ であるとき、高さを求めます。

2. 解き方の手順

(1) 扇形の弧の長さは、底面の円周に等しいことを利用します。底面の半径は9cmなので、円周は $2\pi \times 9$ で計算できます。

(2) 扇形の中心角を $x$ 度とします。扇形の弧の長さは $2\pi \times 15 \times \frac{x}{360}$ で表すことができます。これは(1)で求めた弧の長さに等しいので、方程式を解いて $x$ を求めます。

(3) 円錐の表面積は、扇形の面積と底面の円の面積の和で計算します。扇形の面積は $\pi \times 15^2 \times \frac{x}{360}$ で計算できます。底面の円の面積は $\pi \times 9^2$ で計算できます。

(4) 円錐の体積 $V$ は $V = \frac{1}{3} \pi r^2 h$ で計算されます。ここで $r$ は底面の半径（9cm）、$h$ は高さです。体積が $324\pi$ cm$^3$ であることから、$h$ を求めることができます。

具体的な計算は以下の通りです。

(1) 扇形の弧の長さ = 底面の円周 = $2 \pi \times 9 = 18\pi$ cm

(2) 扇形の弧の長さ = $2 \pi \times 15 \times \frac{x}{360} = 18\pi$

よって、

$30\pi \times \frac{x}{360} = 18\pi$

$\frac{x}{360} = \frac{18}{30} = \frac{3}{5}$

$x = \frac{3}{5} \times 360 = 216$ 度

(3) 扇形の面積 = $\pi \times 15^2 \times \frac{216}{360} = \pi \times 225 \times \frac{3}{5} = 135\pi$ cm$^2$

底面の円の面積 = $\pi \times 9^2 = 81\pi$ cm$^2$

円錐の表面積 = $135\pi + 81\pi = 216\pi$ cm$^2$

(4) 円錐の体積 $V = \frac{1}{3} \pi \times 9^2 \times h = 324\pi$

$\frac{1}{3} \pi \times 81 \times h = 324\pi$

$27 \pi h = 324 \pi$

$h = \frac{324}{27} = 12$ cm

3. 最終的な答え

(1) 扇形の弧の長さ: $18\pi$ cm

(2) 扇形の中心角の大きさ: 216度

(3) 円錐の表面積: $216\pi$ cm$^2$

(4) 円錐の高さ: 12 cm