2点 $A(5, -2, -3)$ と $B(8, 0, -4)$ を通る直線に、原点 $O$ から垂線 $OH$ を下ろすとき、点 $H$ の座標と線分 $OH$ の長さを求める。

1. 問題の内容

2点 $A(5, -2, -3)$ と $B(8, 0, -4)$ を通る直線に、原点 $O$ から垂線 $OH$ を下ろすとき、点 $H$ の座標と線分 $OH$ の長さを求める。

2. 解き方の手順

まず、直線 $AB$ の方向ベクトル $\vec{d}$ を求める。

$\vec{d} = \vec{OB} - \vec{OA} = (8-5, 0-(-2), -4-(-3)) = (3, 2, -1)$.

次に、直線 $AB$ 上の点をパラメータ $t$ を用いて表す。

$\vec{OH} = \vec{OA} + t\vec{d} = (5, -2, -3) + t(3, 2, -1) = (5+3t, -2+2t, -3-t)$.

$\vec{OH}$ と $\vec{d}$ が垂直なので、内積は0である。

$\vec{OH} \cdot \vec{d} = 0$

$(5+3t, -2+2t, -3-t) \cdot (3, 2, -1) = 0$

$(5+3t) \cdot 3 + (-2+2t) \cdot 2 + (-3-t) \cdot (-1) = 0$

$15+9t -4+4t +3+t = 0$

$14+14t = 0$

$14t = -14$

$t = -1$

$H$ の座標は

$\vec{OH} = (5+3(-1), -2+2(-1), -3-(-1)) = (5-3, -2-2, -3+1) = (2, -4, -2)$.

$OH$ の長さを求める。

$OH = \sqrt{(2-0)^2 + (-4-0)^2 + (-2-0)^2} = \sqrt{2^2 + (-4)^2 + (-2)^2} = \sqrt{4 + 16 + 4} = \sqrt{24} = 2\sqrt{6}$.

3. 最終的な答え

点 $H$ の座標は $(2, -4, -2)$

線分 $OH$ の長さは $2\sqrt{6}$