加法定理を用いて、$cos15^\circ$、$sin75^\circ$、$tan105^\circ$の値を求める。

1. 問題の内容

加法定理を用いて、$cos15^\circ$、$sin75^\circ$、$tan105^\circ$の値を求める。

2. 解き方の手順

(1) $cos15^\circ$ を求める。

$15^\circ$は、$45^\circ - 30^\circ$ と表せるので、加法定理を用いると、

$cos15^\circ = cos(45^\circ - 30^\circ) = cos45^\circ cos30^\circ + sin45^\circ sin30^\circ$

$cos45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$、 $cos30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$、 $sin45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$、 $sin30^\circ = \frac{1}{2}$ を代入すると、

$cos15^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$

(2) $sin75^\circ$ を求める。

$75^\circ$は、$45^\circ + 30^\circ$ と表せるので、加法定理を用いると、

$sin75^\circ = sin(45^\circ + 30^\circ) = sin45^\circ cos30^\circ + cos45^\circ sin30^\circ$

$sin45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$、 $cos30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$、 $cos45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$、 $sin30^\circ = \frac{1}{2}$ を代入すると、

$sin75^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$

(3) $tan105^\circ$ を求める。

$105^\circ$は、$60^\circ + 45^\circ$ と表せるので、加法定理を用いると、

$tan105^\circ = tan(60^\circ + 45^\circ) = \frac{tan60^\circ + tan45^\circ}{1 - tan60^\circ tan45^\circ}$

$tan60^\circ = \sqrt{3}$、 $tan45^\circ = 1$ を代入すると、

$tan105^\circ = \frac{\sqrt{3} + 1}{1 - \sqrt{3} \cdot 1} = \frac{\sqrt{3} + 1}{1 - \sqrt{3}}$

分母を有理化すると、

$tan105^\circ = \frac{(\sqrt{3} + 1)(1 + \sqrt{3})}{(1 - \sqrt{3})(1 + \sqrt{3})} = \frac{3 + 2\sqrt{3} + 1}{1 - 3} = \frac{4 + 2\sqrt{3}}{-2} = -2 - \sqrt{3}$

3. 最終的な答え

(1) $cos15^\circ = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$

(2) $sin75^\circ = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$

(3) $tan105^\circ = -2 - \sqrt{3}$