2点 $A(2, -3)$ と $B(-8, 4)$ を結ぶ線分ABについて、以下の点の座標を求める問題です。 (1) 3:1に内分する点 (2) 2:3に内分する点 (3) 3:1に外分する点 (4) 2:3に外分する点 (5) 中点

1. 問題の内容

2点 $A(2, -3)$ と $B(-8, 4)$ を結ぶ線分ABについて、以下の点の座標を求める問題です。

(1) 3:1に内分する点

(2) 2:3に内分する点

(3) 3:1に外分する点

(4) 2:3に外分する点

(5) 中点

2. 解き方の手順

点 $A(x_1, y_1)$ と点 $B(x_2, y_2)$ を $m:n$ に内分する点の座標は

$(\frac{nx_1 + mx_2}{m+n}, \frac{ny_1 + my_2}{m+n})$

で求められます。また、$m:n$ に外分する点の座標は

$(\frac{-nx_1 + mx_2}{m-n}, \frac{-ny_1 + my_2}{m-n})$

で求められます。

中点の座標は $(\frac{x_1+x_2}{2}, \frac{y_1+y_2}{2})$ で求められます。

(1) 3:1に内分する点

$x$座標: $\frac{1 \cdot 2 + 3 \cdot (-8)}{3+1} = \frac{2-24}{4} = \frac{-22}{4} = -\frac{11}{2}$

$y$座標: $\frac{1 \cdot (-3) + 3 \cdot 4}{3+1} = \frac{-3+12}{4} = \frac{9}{4}$

したがって、座標は $(-\frac{11}{2}, \frac{9}{4})$

(2) 2:3に内分する点

$x$座標: $\frac{3 \cdot 2 + 2 \cdot (-8)}{2+3} = \frac{6-16}{5} = \frac{-10}{5} = -2$

$y$座標: $\frac{3 \cdot (-3) + 2 \cdot 4}{2+3} = \frac{-9+8}{5} = \frac{-1}{5}$

したがって、座標は $(-2, -\frac{1}{5})$

(3) 3:1に外分する点

$x$座標: $\frac{-1 \cdot 2 + 3 \cdot (-8)}{3-1} = \frac{-2-24}{2} = \frac{-26}{2} = -13$

$y$座標: $\frac{-1 \cdot (-3) + 3 \cdot 4}{3-1} = \frac{3+12}{2} = \frac{15}{2}$

したがって、座標は $(-13, \frac{15}{2})$

(4) 2:3に外分する点

$x$座標: $\frac{-3 \cdot 2 + 2 \cdot (-8)}{2-3} = \frac{-6-16}{-1} = \frac{-22}{-1} = 22$

$y$座標: $\frac{-3 \cdot (-3) + 2 \cdot 4}{2-3} = \frac{9+8}{-1} = \frac{17}{-1} = -17$

したがって、座標は $(22, -17)$

(5) 中点

$x$座標: $\frac{2 + (-8)}{2} = \frac{-6}{2} = -3$

$y$座標: $\frac{-3 + 4}{2} = \frac{1}{2}$

したがって、座標は $(-3, \frac{1}{2})$

3. 最終的な答え

(1) $(-\frac{11}{2}, \frac{9}{4})$

(2) $(-2, -\frac{1}{5})$

(3) $(-13, \frac{15}{2})$

(4) $(22, -17)$

(5) $(-3, \frac{1}{2})$